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函数的单调性
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 函数与的单调递增区间分别为（ ）
A. [1，+∞)，[1，+∞) B. (﹣∞，1]，[1，+∞)
C. (1，+∞)，(﹣∞，1] D. (﹣∞，+∞)，[1，+∞)
【答案】A
【解析】
【分析】
先对，进行化简，再求单调区间即可.
【详解】解： ，
在上单调递增，
，
在上单调递增，
故选：A.
2. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.
【详解】由得或，即函数的定义域为，
又二次函数的图象的对称轴方程为，
所以函数（）在区间上单调递减，
在区间上单调递增，又函数为增函数，
所以的单调递减区间为．
故选：D
3. 对于函数在给定区间上有两个数，且使成立，则 ( )
A. 一定是增函数 B. 一定是减函数
C. 可能是常数函数 D. 单调性不能确定
【答案】D
【解析】
【详解】∵由单调性的定义可以知道，不能用特殊值代替一般值
∴若使函数为增函数，应为任意两个数，且使
故单调性不能确定
故选D
4. 定义在上的函数，对任意，有，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出函数在上单调递减，进而可得出.
【详解】对任意，有，所以函数在上单调递减，
又，则.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的推理能力，属于基础题.
5. 已知函数，且.
（1）求m的值；并求的值.
（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明.
【答案】（1），；（2）在上单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可求得，再计算即可得答案；
（2）根据函数，在均为增函数即可判断，再根据单调性的定义证明即可.
【详解】解：（1），，；
所以，，
所以.
（3）因为函数，在均为增函数，
所以函数在上单调递增.
证明：对任意的，，且，
，
，，且，，，
，即，
在上单调递增.
能力提升
6. 已知函数的定义域为R，对任意的，都有，且，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得,可构造函数是上的增函数,原不等式可转化为,再结合增函数的性质可求出答案.
【详解】由题意,,
因为且所以函数是上的增函数.
,
因为,所以,
则,解得.
故选:C.
【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,构造函数是解决本题的关键,属于基础题.
7. 已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.
【解析】
【分析】
根据函数过，即可画出函数图象，（1）由所得图象写出单调区间即可；（2）写出区间端点值、极值，再比较它们的大小即可得最大值.
【详解】的图象如图所示．
(1) 在和上是增函数，在上是减函数，
∴单调递增区间为，；单调递减区间为；
(2)∵，，
∴在区间上的最大值为.
【点睛】本题考查了根据函数解析式画函数图象，利用图象确定函数的性质，属于简单题.
8. 已知函数.
（1）若，求的定义域；
（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据被开方数是非负数，结合的范围，即可容易求得结果；
（2）利用复合函数单调性的判断原则，列出不等式，即可容易求得参数范围.
【详解】（1）时，由得，
即函数的定义域是.
（2）当即时，令
要使在上是减函数，则函数在上为减函数，
即，并且，解得；
当即时 ，令
要使在上是减函数，则函数在为增函数，
即，并且，解得
综上可知，所求实数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，以及根据函数单调性求参数范围，属综合基础题.
挑战创新
9. 已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）若在是增函数，求实数的范围.
【答案】（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）.
【解析】
【详解】（1）当时，，
对任意，，为偶函数．
当时，，
取，得，
，函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）设，
，
要使函数在上为增函数，必须恒成立．
，即恒成立．
又，．的取值范围是．
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函数的单调性
【知识要点】
1.函数单调性
设函数的定义域为，区间；
（1）如果，当时，都有_______，那么就称函数在区间上单调递增；
（2）如果，当时，都有_______，那么就称函数在区间上单调递减；
2.增函数与减函数
（1）当函数在它的定义域上是单调递增时，我们就称它是___函数；
（2）当函数在它的定义域上是单调递减时，我们就称它是___函数；
【公式概念应用】
1. 甲：函数是上的单调递减函数；乙：，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用减函数的定义判断两个命题“若甲则乙”、“若乙则甲”的真假即可得解.
【详解】函数是R上的单调递减函数，则，由减函数定义知，此命题是真命题，即命题：“若甲则乙”是真命题；
反之，，则函数是上的单调递减函数，条件与减函数定义不符，即命题：“若乙则甲”是假命题，
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
2. 函数的单调递减区间是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，即可求解.
【详解】是开口向下的抛物线，对称轴，
所以函数的单调递减区间是.
故答案为：
3. 证明幂函数在上是增函数
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由定义法可以证明函数的单调性，即假设，最后证到即可，中间利用分子有理化进行式子化简.
【详解】设，
则
即，此函数在上是增函数.
4. 已知函数是定义在上的增函数，且，求x的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据定义域和单调性即可列出不等式求解.
【详解】是定义在上的增函数
∴由得，解得，即
故 x的取值范围.
参考答案：
1（1）；（2）
2.（1）增；（2）减
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函数的单调性
学习目标：
1.理解函数单调性，能进行函数单调性的简单证明．
2.能利用单调性解决函数不等式问题
知识要点：
1.函数的单调性
设函数的定义域为，区间；
（1）如果，当时，都有_______，那么就称函数在区间上单调递增；
（2）如果，当时，都有_______，那么就称函数在区间上单调递减；
2.增函数与减函数
（1）当函数在它的定义域上是单调递增时，我们就称它是___函数；
（2）当函数在它的定义域上是单调递减时，我们就称它是___函数；
典型例题：
题组一 函数的单调与函数的图象
1. 已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是_______；单调递减区间是_________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接根据图像观察，递增区间为；递减区间为
【详解】观察图像，图像上升对应的为增区间，故增区间为；
图像下降对应的为减区间，故减区间为；
2. 已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象.
（2）写出此函数的单调区间，并写出值域.
【答案】（1）作图见解析；（2）增区间为[1，3]，减区间为、、，值域为.
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数、二次函数、反比例函数的知识画出图象即可；
（2）根据图象写出答案即可.
【详解】（1）图象如图所示
（2）定义域为R，增区间为[1，3]，减区间为、、，值域为.
题组二 不含参数的函数单调性的判断与证明
3. 用定义证明在上单调递增．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】利用定义法证明函数在某区间上的单调性，按步骤求解即可.
【详解】证明：任取，，且.
因为.
又，所以，.
有，，
所以，即.
所以函数在上单调递增.
4. 已知函数.
（1）求 ；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.
【答案】（1）；（2）减函数，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）用代入法进行求解即可；
（2）用单调性的定义进行判断并证明即可.
【详解】（1）因为，所以；
（2）函数在上单调递减，证明如下：
设是内任意两个实数，且，则有，
，
因为，所以，因此，
所以函数在上单调递减.
题组三 复合函数单调性的判断
5. 已知函数，在上单调递增，且，求证：函数在上单调递增．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先任取，，且，根据函数单调性，得到，再由单调性，即可得到，从而可证明结论成立.
【详解】任取，，且，
因为在上单调递增，
所以．
又在上单调递增，，
所以，
所以函数在上单调递增．
【点睛】本题主要考查证明函数单调性，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型.
6. 请完成下面的表格：（均为上的函数）
增函数 增函数
增函数 减函数
减函数 增函数
减函数 减函数
（2）依据（1）的结果，解决问题：“已知函数，试写出函数的单调区间.”
【答案】（1）答案见解析；（2）单调增区间为和，减区间为和.
【解析】
【分析】（1）根据复合函数的单调性的判断可完善表格；
（2）根据复合函数的单调性和二次函数的单调性可得答案.
【详解】（1）
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
（2）令，
则当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递增；
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，
所以函数的单调增区间为和，减区间为和.
题组四 函数不等式的解法
7. 已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.
【答案】x＜
【解析】
【分析】将不等式化为，再根据函数的单调性可解得结果.
【详解】因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
故答案为：.
8. 函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得函数是上的单调增函数，然后可解出答案.
【详解】因为对任意的总有
所以函数是上的单调增函数，
从而由得，解得．
故答案为：
题组五 由函数的单调性确定参数的取值范围
9. 已知函数在[1，2]上为增函数，求实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况，讨论二次函数的对称轴与端点的大小，列不等式得出实数k的取值范围．
【详解】解：当时，在上为增函数，符合题意；
当时，函数的对称轴为，则或，解得或
综上可得，实数k的取值范围是
故答案为：
10. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. ，， B.
C. ，， D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，，，
故选：C．
当堂检测：
11. （多选）若函数的图象如图所示，则下列区间是函数的单调递减区间的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
由函数图象确定函数的单调区间即可.
【详解】由图，可得在上递减，在上递增，在上递减，
∴的单调递减区间为．
故选：AD．
12. 函数在上为增函数，则的一个单调递减区间是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数为上的增函数，可知偶函数在单调递减，而是向左平移一个单位后得到的，进而求解.
【详解】函数为上的增函数，
偶函数在上单调递增，在单调递减，
而是向左平移一个单位后得到的，
单调递减区间是，
故答案为：.
13. 已知函数.
（1）当时，判断的单调性并证明；
（2）若不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用证明函数单调性的定义，取值，作差，定号，下结论即可判断；
（2）先判断，，根据的单调性去掉可得关于的不等式，解不等式即可求解.
【详解】（1）设任意的，且，
，
因为，所以，，，
所以，即，可得，
所以在上单调递增，
（2），，
且函数在上单调递增，
所以由可得，
即，解得：，
所以实数的取值范围是.
14. 已知函数＝，若函数在区间上单调递减，求出a的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据函数单调性的定义，设，利用，化简后得的取值范围.
【详解】设，
，
因为函数在区间上单调递减，所以恒成立，
因为，，，
所以恒成立，即.
所以的取值范围是.
参考答案：
知识要点：
1（1）；（2）
2（1）增；（2）减
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