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不同函数增长的差异
【知识要点】
1.一般地，对于指数函数与一次函数，随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而增长越___；
2. 一般地，对于指数函数与一次函数，随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而增长越___；
【公式概念应用】
1. 水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查容器的形状来确定水的高度的变换规律，选择图形即可.
【详解】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合；
B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快；
C选项容器中水的高度是匀速增加；
D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快.
故选：A
2. 下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（ ）
A. 递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳
B. 递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快
C. 递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳
D. 递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快
【答案】C
【解析】
【分析】作出三个函数的图象，由此可得出结论.
【详解】观察函数、、在区间上的图象如下图所示：
函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
函数在区间上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．
函数的图象递减速度比较平稳．
故选：C.
3. 对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（ ）
1 2 3
3 5.99 12.01
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合增长速度及3组数据，进行判断即可．
【详解】根据题意，这3组数据可近似为，，；
得到增长速度越来越快，排除，对于选项，三组数据都不满足，
对于选项，三组数据代入后近似满足，
则模拟效果最好的函数是．
故选：．
4. 如图，记录了一种叫朱瑾的植物生长时间t（)年,与树高y（米）之间的散点图．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合散点图，利用排除法逐一排除选项即得结果.
【详解】由图象增长特征可知，函数模型应该是缓慢增长的，故BC不符合题意；
选项A中，函数过点，而散点图显然不过该点，且即使是直线模型斜率也小于1，故A不符合题意；选项D中，对数型函数增长缓慢，过点，符合题意.
故选：D.
【知识要点】
1.快；
2. 慢.
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不同函数增长的差异
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 以下四种说法中，正确的是（ ）
A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意的x>0，xn>logax
C. 对任意的x>0，ax>logax
D. 不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
【答案】D
【解析】
【分析】通过举例说明幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质，判断选项中的命题是否正确即可．
【详解】解：对于A，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如和在时，所以A错误；
对于B，当时，由幂函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以B错误；
对于C，当时，由指数函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以C错误；
对于D，当时，由幂函数和指数函数、对数函数的性质知，不一定存在，当时，总有，所以D正确．
故选：D．
2. 张谦同学和杨靖杰同学在做物理实验时，收集到一组数据，如下表，则体现的函数关系式是（ ）
x 0.5 1 2 4 8 16 32
y 0 1 2 3 4 5
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中数据分析可得，符合对数函数变化.
【详解】对A，横纵坐标junbu2相同，故不是，故A错误；
对B，，不符合，故B错误；
对C，可得表中数据符合，故C正确；
对D，，不符合，故D错误.
故选：C.
3. 某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量 （单位：毫克）与时间（单位：小时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如下散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计与的关系，则应选用的函数模型是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用散点图的分布结合函数的单调性可选择合适的选项.
【详解】由散点图可知，函数在上单调递减，且散点分布在在一条曲线附近，
函数的图象为一条直线，不合乎题意；
函数的图象为一条曲线，且当时，该函数单调递减；
函数在区间上单调递增，不合乎题意；
由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合乎题意.
故选：B.
4. 函数与函数在区间上增长速度较快的一个是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
将问题转化为比较与增长速度问题，结合图象可确定结果.
【详解】，比较与的增长速度只需比较与增长速度即可，
由图象可知：的增长速度快于，
函数与函数在区间上增长速度较快的是.
故答案为：.
5. 某地土豆开始上市．通过市场调查得到土豆种植成本元/吨与上市时间天的数据如下表：
时间 50 110 120
种植成本 150 108 150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系．（，，，）
（2）利用你选取的函数，求土豆种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【答案】（1）；（2）土豆种植成本最低时的上市天数是第天，最低种植成本为元/吨.
【解析】
【分析】（1）本题首先可以根据表中数据的变化选择，然后代入、、，通过计算即可得出结果；
（2）本题可根据二次函数的性质求出结果.
【详解】（1）由表中数据易知，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数不是单调函数，而、、都是单调函数，故选择，
将、、代入函数中，
则，解得，.
（2）因为函数开口向上，对称轴为，
故当时，土豆种植成本最低，
最低种植成本为元/吨.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数解决实际问题，能否合理选择函数解析式是解决本题的关键，可通过函数单调性的角度去考虑，考查计算能力，是中档题.
能力提升
6. 对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（ ）
1 2 3
3 5.99 12.01
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合增长速度及3组数据，进行判断即可．
【详解】根据题意，这3组数据可近似为，，；
得到增长速度越来越快，排除，对于选项，三组数据都不满足，
对于选项，三组数据代入后近似满足，
则模拟效果最好的函数是．
故选：．
7. 假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.
0 5 10 15 20
万元 20 40
万元 20 40
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.
【答案】（1）（2）（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）因为是按直线上升的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（2）因为是按指数增长的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可
【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设,
由,,
可得,
即.
（2）因为是按指数增长的房价,设,
由,
可得,
即.
（3）由（1）和（2）,当时,；
当时,；当时,,
则表格如下:
0 5 10 15 20
万元 20 30 40 50 60
万元 20 40 80
则图像为:
根据表格和图像可知:
房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.
【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力
8. 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？
【答案】（1），；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由图可知，点在曲线上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得.同理在曲线上，将其代入曲线的方程可求得.（2）设投资甲商品万元，乙商品万元，则利润表达式为，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品万元，乙商品万元时，所获得的利润最大值为万元.
试题解析：
（1）由题知，在曲线上，
则，
解得，即.
又在曲线上，且，则，
则，所以.
（2）设甲投资万元，则乙投资为万元，
投资获得的利润为万元，则
，
令，
则.
当，即（万元）时，利润最大为万元，此时（万元），
答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.
挑战创新
9. 土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.年月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，盘里有盘是我们澜沧种的！”
（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论；
（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短年，最长不超过年；③投资年数与总回报的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：当时， ，以后每增加时，增加；方案二：；方案三：.请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）设顾客一次购买斤土豆，每斤土豆的单价为元，根据题意可得出，化为，利用该函数的单调性可得出结论；
（2）求出方案一中函数模型的解析式，列表得出三种方案所有年数的总回报，根据表格中的数据可得出结论.
【详解】（1）设顾客一次购买斤土豆，每斤土豆的单价为元，
由题意知：，
因为，所以在为单调递减函数.
说明一次购买的斤数越多，单价越低；
（2）根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案.
由题意可知方案一对应的解析式为：.
列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得出如下结论：
投资年数 总回报
方案一
方案二
方案三
当投资年数为年时，选择方案一最佳；
当投资年数为年时，选择方案一或方案二最佳；
当投资年数为年或年时，选择方案二最佳；
当投资年数为年时，选择方案二或方案三最佳；
当投资年数为年时，选择方案三最佳.
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
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不同函数增长的差异
学习目标：
1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数、指数函数、对数函数的增长速度的差异；
2.理解“指数爆炸”、“对数增长”、“直线上升”等术语的现实含义；
3.通过体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模的核心素养.
知识要点：
1.一般地，对于指数函数与一次函数，随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而增长越___；
2. 一般地，对于指数函数与一次函数，随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而增长越___；
典型例题：
题组一 三类函数模型增长差异的比较
1. 当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的特点即可判断出增长速度.
【详解】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.
故选：B．
2. 三个变量随着变量的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
5 15 25 35 45 55
5 29 245 2189 19685 177149
5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数函数，指数函数，一次函数变化的量依次是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格中的数据，得出三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，结合指数函数、对数函数的增长趋势，即可求解.
【详解】从题设中表格中的数据可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，呈指数函数变化，变量的增长速度变慢，呈对数型函数的变化.
故选：B
题组二 函数模型的选择
3. 今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可.
【详解】对于选项A：当时，，与相差较多，故选项A不正确；
对于选项B：当时，，与相差较多，故选项B不正确；
对于选项C：当时，，故选项C正确；
对于选项D：当时，，与相差较多，故选项D不正确；
故选：C.
4. “道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一丈等于十尺，即可得出结果.
【详解】因为一丈等于十尺，
所以“道高一尺魔高一丈”更适合用，来表示；
故选：A.
题组三 不同增长的函数模型的图像特征
5. 如图，记录了一种叫朱瑾的植物生长时间t（)年,与树高y（米）之间的散点图．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合散点图，利用排除法逐一排除选项即得结果.
【详解】由图象增长特征可知，函数模型应该是缓慢增长的，故BC不符合题意；
选项A中，函数过点，而散点图显然不过该点，且即使是直线模型斜率也小于1，故A不符合题意；选项D中，对数型函数增长缓慢，过点，符合题意.
故选：D.
6. 某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A. 野生水葫芦的每月增长率为1
B. 野生水葫芦从4蔓延到12只需1．5个月
C. 设野生水葫芦蔓延到10，20，30所需的时间分别为，，，则有
D. 野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
【答案】AC
【解析】
【分析】根据指数函数的图象过点，求得函数的解析式，结合指数函数的解析式，逐项判定，即可求解.
【详解】设指数函数的解析式为，
由函数的图象可知图象过点，代入可得，解得，即，
则，所以野生水葫芦的每月增长率为1，所以A正确；
由当时，，又由时，可得，解得，所以B不正确；
令，可得，解得，
同理可得，
则，，
所以，所以C正确；
由平均变化率的定义，可得1月到3月的平均变化率为，
2月到4月的平均变化率为，所以D不正确.
故选：AC.
当堂检测：
7. 学校宿舍与办公室相距，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则这个函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得开始路程是递增，停留时路程不发生变化，再匀速时总路程也是增加的，即可判断.
【详解】由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增，停留2分钟，
路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合,
故选：A.
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，考查了函数图象在实际中的应用,属于基础题．
8. 下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断.
【详解】是一次函数，是幂函数，是对数函数，是指数函数，
因为当x足够大时，指数函数增长速度最快，
故选：A.
9. 下列选项分别是四种生意预期的获益关于时间的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是______．①；②；③；④．
【答案】①
【解析】
【分析】根据三类函数的增长差异可知．
【详解】解：结合三类函数的增长差异可知指数增长性最快，
所以①的预期收益最大，
故答案为：①．
10. 植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）
A. (且 )
B. (，且 )
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由散点图直接选择即可.
【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，
即B符合.
故选：B.
知识要点：
1.快；
2.慢；
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