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函数的最值
学习目标：
1.理解最值概念.
2.能结合函数的单调性和简单函数的性质求函数的最值.
知识要点：
1.函数的最大值
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有_______；
（2），使得________
那么，我们称是的最大值.
2.函数的最小值
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有_____；
（2），使得_____.
那么，我们称是的最小值.
1. 当时，求函数的最大值（其中为常数）．
【答案】．
【解析】
【分析】
二次函数开口向下，对称轴方程为，对称轴随的变化而变化，结合图象，分类讨论求解函数的最大值即可.
【详解】函数的对称轴方程为，画出其草图：
(1) 当对称轴在所给范围左侧，即时：当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间，即时：
当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．
综上所述：．
【点睛】本题考查二次函数的最值求解，考查了数形结合与分类讨论的思想.
2. 设求函数的最小值的解析式.
【答案】
【解析】
【分析】由题知函数的对称轴为直线，讨论与之间的位置关系求函数的最小值的解析式.
【详解】，，
函数图像的对称轴为直线，
∴当时，即时，
.
当，即时，在上是减函数，
∴.
当时，在上是增函数，
∴.
综上：.
【点睛】方法点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A （A ）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
3. 已知函数，当函数在上的最小值为-3时，求实数的值.
【答案】或.
【解析】
【分析】
首先求出二次函数的对称轴，再对对称轴分类讨论求出其最小值，即可得解；
【详解】解：由题意得函数图像的开口向上，对称轴方程为.
①当，即时，在上单调递减，
∴，解得，符合题意；
②当，即时，由题意得.得，
∴或，不合题意，舍去；
③当，即时，在上单调递增，
∴，解得，符合题意.综上可知，或.
【点睛】本题考查二次函数在定区间上的最值，典型的动轴定区间问题，考查分类讨论思想，属于中档题.
4. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值．
【答案】或
【解析】
【分析】
这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪．若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明．
【详解】解：（1）令，得，此时抛物线开口向下，对称轴为，且
故不合题意；
（2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；
（3）若，得，经检验，符合题意．
综上，或
【点睛】本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法，属于中档题．
5. 求下列函数的值域：
（1），；
（2）；
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）令，将函数转化为二次函数求解；
（2）利用分离常数法，将函数转化为求解；
（3）将函数转化为，利用对勾函数性质求解.
【详解】（1）函数，
设，则，
∵，
∴，
那么函数转化为，
其对称轴，∴在上单调递增，
∴，即，
故得的值域为.
（2），
因为且，
所以或，
所以或，
所以值域为.
（3），
当时，，
当时，，
所以
或，
所以或且，
综上，
所以值域为：.
6. 求下列函数的值域：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）将分式函数等价变形为一元二次方程，然后通过判别式法即可求得本题答案；
（2）把平方得，通过求函数在的值域，即可得到本题答案.
【详解】（1）由题，得，
整理，得，
当时，；
当时， 方程有实根，，
即，解得，或，
综上，所以值域为：.
（2）易知，且.
又
，
当时，有最大值，
当或时，有最小值0，
所以当时，易得，故的值域为.
7. 设函数（为常数），对任意，当时，，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】利用分段函数在定义域上递增，由求解.
【详解】因为对任意，当时，，
所以函数在定义域上递增，
则，而且,
解得.
8. 已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到在上单调递减，进而可求出结果.
【详解】由题意，得到在上单调递减，
因此只需，解得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型.
9. 已知函数.
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
【答案】（1）最小值为；（2）.
【解析】
【分析】（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
【详解】解：（1）依题意得.
因为x>0，所以 .
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
故当时，的最小值为 .
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.
不妨设，
则只要在上恒成立.
所以 即
解得.
所以a的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
10. 已知函数的零点为
（1）求二次函数的解析式；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理求出、的值即可；
（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值即可；
（3）易得的最小值为12，然后解出不等式即可.
【详解】（1）由题知2和3是方程的两个根．
由根与系数的关系得即，所以．
（2）不等式对于任意恒成立，由于的对称轴是，
由二次函数的知识可得，当时二次函数取最大值，
所以只需，即，解得或．
（3）当时，取得最小值为12，故，即
解得，即的取值范围为
11. 函数的值域为______
【答案】
【解析】
【分析】将函数转化为，令，利用对勾函数的性质求解.
【详解】，
令，
因为在单调递减，在单调递增，
所以，当时，，当时，
所以，即值域为：.
故答案为：
12. 已知函数.当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值.
【答案】2.
【解析】
【分析】先判断出在时递增，可得最大值域最小值的差，解方程即可得到所求值.
【详解】任取，且，
则，
由，知，，
则，即，
所以函数在上单调递增，
则函数的最大值为，最小值为，
所以，即，
解得.
13. 当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题首先可根据题意得出当时不等式有解，然后令，求出当时的取值范围，即可得出结果.
【详解】不等式有解即不等式有解，
令，
当时，，
因为当时不等式有解，
所以，实数的取值范围是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查根据不等式有解求参数，可通过构造函数并通过求函数的值域的方式求解，考查二次函数的值域的求法，考查推理能力，是中档题.
14. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题知，解不等式组即可得答案.
【详解】解：当时，为减函数，故
又因为是上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为
故答案为：
15. 已知二次函数的最小值为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，由此可求得函数在区间上的最大值.
【详解】（1）设，由于该函数有最小值，则，
由已知条件可得，解得，故；
（2）.
①当时，函数在区间上单调递减，则；
②当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，.
当时，因为，故当时，.
当时，因为，故当时，.
综上所述，.
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函数的最值
【知识要点】
1.函数的最大值
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有_______；
（2），使得________.
那么，我们称是的最大值.
2. 函数的最小值
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有_____；
（2），使得_____.
那么，我们称是的最小值.
【公式概念应用】
1. 已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】易得当时，函数在上单调递减，在处取得最大值，从而列式计算可得结果.
【详解】当时，函数在上单调递减，
所以函数（）在处取得最大值，最大值为，
解得．
故选：B.
2. 已知二次函数.若当时，的最大值为4，求实数的值.
【答案】或.
【解析】
【分析】分函数的对称轴和两种情况，分别建立方程，解之可得答案.
【详解】二次函数的对称轴为直线，
当，即时，当时，取得最大值4，，解得，满足；
当，即时，当时，取得最大值4，，解得，满足.
故:实数的值为或.
3. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用偶次根式被开方数非负可解出函数的定义域；
（2）把平方得，再求的值域即可，然后逆推回去即可求解函数的值域.
【详解】解：（1）由，得的定义域为；
（2）易知．
又
．
时，有最大值，或时，有最小值0，
所以时，易得，故求的值域为．
【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了函数值域的求解，将问题转化为二次函数在区间上的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.
4. 若f（x）＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据f（x）＝在 上是单调减函数，第二段函数是减函数，则第一段函数当时为减函数，且x=1时，第二段函数值不小于第一段函数值，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得a的取值范围.
【详解】若f（x）＝ 是R上的单调减函数，得则 ，解得，
故答案为：.
参考答案：
知识要点】
1.（1）；（2）.
2（1）；（2）.
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函数的最值
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知函数，若对一切，都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将，成立，转化为，对一切成立，由求解即可.
【详解】解：因为函数，若对一切，都成立，
所以，对一切成立，
令，
所以，
故选：C
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
2. 函数的最大值是：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论．
【详解】∵，
∴，最大值为．
故选：A.
【点睛】本题考查求函数的最值，利用二次函数的性质和不等式的性质易得．
3. 函数的图象如图所示，则最大 最小值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图像，直接得出结果.
【详解】根据图象的最高点与最低点，可得函数的最大 最小值分别为，，
故选：C.
【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数最值，属于基础题型.
4. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题知，解不等式组即可得答案.
【详解】解：当时，为减函数，故
又因为是上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为
故答案为：
5. 已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【解析】
【分析】（1）设，，代入求解，化简求解系数．
（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
【详解】（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.
能力提升
6. 已知函数，其中，则的值域是________；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对于，利用换元法，结合二次函数的性质求得的值域.将存在性和恒成立问题转化为，结合的值域和的单调性求得的取值范围.
【详解】，换元令，∴，
其开口向上，且对称轴为，所以在上单调递增，
所以，，故的值域为；
对任意的，总存在，使得等价于．
∵在上单调递增，故，所以．
故答案为：；
【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查存在性和恒成立问题的求解，属于中档题.
7. 作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】（1）将函数转化为，利用反比例函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域；
（2）将函数转化为，利用二次函数的性质作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域；
（3）将函数转化为，利用二次函数的性质结合翻折变换作图，再结合图象写出函数的单调区间和值域；
【详解】（1），图象如图所示：
函数在和为减函数，
因为，所以，故值域为：；
（2），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，
当时，取得最小值，故值域：；
（3），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：；
8. 已知二次函数的图象过点，对任意满足，且有最小值是.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象恒在函数的图象上方，试确定实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知函数关于直线对称，设二次函数的顶点式，然后利用待定系数法求解；
（2）将函数的解析式代入，使在上横成立，只需使在上恒成立.
【详解】解：（1）由题知二次函数图象的对称轴为，又最小值是
则可设
又图象过点，
则，解得，
∴.
（2）由已知，对恒成立，
∴在恒成立，
∴.
∵在上的最小值为.
∴.
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，考查根据不等式的成立问题求参数的取值范围，难度一般.
挑战创新
9. 已知函数对任意，总有，且当时，，.
（1）求证：是上的减函数；
（2）求是上的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值2和最小值.
【解析】
【分析】（1）设是任意的两个实数，且，由已知条件得出，再根据函数单调性的定义可得证；
（2）由(1)得出的函数的单调性知，在上也是减函数，可求得最大值和最小值.
【详解】（1）证明：任取且，则，
时，，且，
，则，即，
所以是上的减函数.
（2）由（1）知，且，
中令得，
令得，即，
，
，.
即的最大值为2，最小值为-2.
【点睛】本题考查抽象函数的单调性的证明，单调性的应用求函数在某区间上的最值，属于中档题.
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