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用二分法求方程的近似解
学习目标：
1.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识，培养学生抽象概括、直观想象、数据处理等数学核心素养.
知识要点：
1.二分法
对于区间上图象连续不断其的函数，通过不断地把它的零点所在区间_____，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法.
2.二分法的一般步骤（精确度为）
（1）确定零点所在区间为，验证________；
（2）求区间的____；
（3）计算；
①若____，则就是函数的零点；
②若_____，则，令；
③若_____，则，令；
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）-（4）.
典型例题：
题组一 二分法求近似解的条件辨析
1. 下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二分法的定义，在连续区间，使，则能用二分法求零点，根据定义判断选项.
【详解】选项恒成立，不存在区间使，
所以不能用二分法求零点.
故选：C
2. 下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二分法求函数零点的前题条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即该函数的图象穿过轴，并且在零点附近函数图象连续不间断，分析选项可得出结果.
【详解】由题意可知，若能利用二分法求零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，即该函数的图象穿过轴，且该函数在零点附近的函数图象连续，
因此，②④中的函数能用二分法求零点，①③中的函数不能用二分法求零点.
故选：C.
题组二 二分法求近似解的过程辨析
3. 已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．
【详解】解：令，其在定义域上单调递增，
且，，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．
故答案为：．
4. 若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分________次．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据以及二分法，确定至少需要的二等分的次数.
【详解】区间的长度为，
第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为，
第次二等分，区间长度变为，
所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分次.
故答案为：
题组三 二分法求近似解
5. 判断函数的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度)
【答案】
【解析】
【分析】首先由结合的单调性可知有且只有一个零点，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可.
【详解】因为，
所以，
因为，所以在区间内有零点，
因为在上为增函数，
所以有且只有一个零点，
取区间的中点，，
所以，可得，
取区间的中点，，
所以，可得，
取区间的中点，，
所以，可得，
取区间的中点，，
所以，可得，
因为，
所以零点的近似值可取为.
6. 用二分法计算的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确到0.1)为______.
【答案】1.4
【解析】
【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，又因为和精确到小数点后面一位都是符合要求，即可得到答案.
【详解】由表格可得：函数的零点在之间
又因为题中要求精确到0.1，和精确到小数点后面一位都是1.4符合要求.
故答案为：1.4.
【点睛】易错点睛：本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．
当堂检测：
7. 关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________.
①“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有根得到
②“二分法”求方程的近似解有可能得到在内的重根
③“二分法”求方程的近似解有可能得到在内没有根
④“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解
【答案】④
【解析】
【分析】
根据用二分法求方程的近似解的条件以及过程即可判断.
【详解】解：利用二分法求方程在内的根，
即在区间内肯定有根存在，
而对于重根无法求解出来，
且所得的近似解可能是内的精确解.
故答案为：④.
8. 下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（ ）
A. y=+1 B. y=
C. y=x2+4x+8 D. y=|x|
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值．
【详解】对于选项C，y=x2+4x+8=(x+4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值.
对于选项D，y=|x|≥0，故不能用二分法求零点的近似值.
易知选项A，B有零点，且可用二分法求零点的近似值.
故选：CD．
9. 用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】由f（1）＝－1＜0，f（2）＝3＞0，＞0，根据零点存在性定理可得答案
【详解】令f(x)＝x3－x2－1，则f（1）＝－1＜0，f（2）＝3＞0，＞0，
所以，
故可断定该实数根所在的区间为.
故答案为：
【点睛】此题考查了二分法和零点存在性定理，属于基础题.
10. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A. 1.2 B. 1.3
C. 1.4 D. 1.5
【答案】C
【解析】
【分析】由表中的数据得出函数值的正负，根据二分法求方程的近似根，可得选项.
【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，，
可得，所以方程的一个近似根为.
故选：C.
【点睛】本题考查运用二分法求方程的近似根，属于基础题.
知识要点：
1.一分二
2（1）；（2）中点；（3）①；②；③；（4）.
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用二分法求方程的近似解
【知识要点】
1.二分法
对于区间上图象连续不断其的函数，通过不断地把它的零点所在区间_____，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法.
2.二分法的一般步骤（精确度为）
（1）确定零点所在区间为，验证________；
（2）求区间的____；
（3）计算；
①若____，则就是函数的零点；
②若_____，则，令；
③若_____，则，令；
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或），否则重复步骤（2）-（4）.
【公式概念应用】
1. 下列函数中，存在零点且零点能用二分法求解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先说明选项A,B,C不能利用二分法求解，再说明选项D能够利用二分法求解.
【详解】由于，所以选项A,B,C的函数不能用二分法求解.
由于函数是存在零点的连续函数，且函数的值域为，所以能够利用二分法求解.
故选：D
2. 用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.
【详解】，
令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，
所以可以取的一个区间是.
故选：B
3. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理判断.
【详解】，，，
所以下一个有根区间为.
故答案为：
4. 已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
（1）证明f(x)有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由单调性定义知为增函数，又f(2)·f(3)<0，即知函数有且只有一个零点；
（2）利用二分法确定区间长度不大于的零点所在区间即可.
【详解】(1)证明：令，则，且，
∴，即f(x)＝lnx＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．又f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，即f(x)在(2,3)内有一个零点．
∴f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取，，
∴，即f(x)零点．取，则.
∴.
∴，又，
∴满足题意的区间为．
【点睛】方法点睛：
1、单调函数若能找到，即知存在零点，定义域内有且仅有一个.
2、二分法求零点区间：中取，并确定符号，若在继续上一步骤；若在继续上一步骤，直到得到合适区间.
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用二分法求方程的近似解
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果.
【详解】因为函数在上显然是连续函数，
和在上都是增函数，
当时，，所以在上恒成立；
当时，，所以在上也恒成立；
当时，，所以在上恒成立，
又，，
根据函数零点存在性定理，可得的其中一个零点的初始区间可为
故选：C.
【点睛】方法点睛：
判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果.
2. 用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（ ）
(参考数据：，，)
A. 2.4 B. 2.5 C. 2.6 D. 2.56
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零点存在定理判断即可.
【详解】由题意得
因为函数在上连续，所以函数在上有零点，
故选：C
3. 用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得经过n次操作后，区间的长度为，令即可求解.
【详解】根据题意，原来区间的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为，若，即.
故选：B．
4. 二分法求函数的零点的近似值适合于（ ）
A. 零点两侧函数值符号相反 B. 零点两侧函数值符号相同
C. 都适合 D. 都不适合
【答案】A
【解析】
【分析】
根据连续函数零点存在性定理即可求解.
【详解】根据函数零点存在性定理知，
利用二分法求函数的零点，必须满足函数图象连续不断且在零点两侧函数值符号相反．
故选：A
5. 用二分法求在内的近似解(精确度为).参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【答案】1.375
【解析】
【分析】
本题直接用二分法求方程的近似解即可.
【详解】解：令，则，
，
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1，2)
(1，1.5)
(1.25，1.5)
∵，
∴在内的近似解可取为1.375.
能力提升
6. 如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测_____次.
【答案】6
【解析】
【分析】根据二分法的思想，不断等分，即可容易判断.
【详解】第1次取中点把焊点数减半为=32，
第2次取中点把焊点数减半为=16，
第3次取中点把焊点数减半为=8，
第4次取中点把焊点数减半为=4，
第5次取中点把焊点数减半为=2，
第6次取中点把焊点数减半为=1，
所以至多需要检测的次数是6.
故答案为：.
【点睛】本题考查二分法思想的实际应用，属简单题.
7. 函数在区间上是否存在零点？若存在，有几个零点？
【答案】存在，函数在区间上有三个零点．
【解析】
【分析】借助于计算器首先考察区间的两个端点的函数值的符号是否相异，若为异号，则该区间上必有零点；若为同号，则再考察区间中间点的函数值的符号是否与区间两端点的函数值异号，经过几次这样的考察，即可得到本题的答案．
【详解】因为，，
所以在区间上至少有一个零点．
取区间的中点；
取区间的中点；
取区间的中点．
因为，所以在区间上至少有一个零点；
因为，所以在区间上至少有一个零点；
因为，所以在区间上至少有一个零点．
又由于函数是三次函数，最多有三个零点，
所以，函数在区间上有三个零点．
【点睛】本题考查零点存在性定理，利用二分法确定零点所在的区间，考查数形结合思想，属于基础题.
8. 设函数.
（1）证明：在区间（-1,0）内有一个零点；
（2）借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1）
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）令，转化为函数的交点问题，利用数形结合法证明；
（2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解.
【详解】（1）令，
则，
令，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
因为，即，
所以在区间（-1,0）内有零点，
再由图象知在区间（-1,0）内有一个零点.
（2）由；
由；
由；
由，
所以.
挑战创新
9. 已知函数f（x）＝ax+（a＞1）.
（1）求证：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；
（2）若a＝3，求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）.
【答案】（1）证明见解析；（2）0.312 5.
【解析】
【分析】
（1）根据定义法证明函数在所给区间的单调性，依次按取值，设定大小，作差，判断符号，可得出结果.
（2）把a＝3代入可得，根据（1）的结论可知正根在区间(0,1)内，然后利用二分法近似求解步骤计算即可.
【详解】证明：（1）设
∴，
∵，∴
∴＜0；
∵，且a＞1，∴，∴，
∴，即，
∴函数在上为增函数；
（2）由（1）知，当a＝3时，在上为增函数，
故在上也单调递增，由于，因此的正根仅有一个，
以下用二分法求这一正根，由于 ，
∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间 中点 中点函数值
（0，1） 0.5 0.732
（0，0.5） 0.25 ﹣0.084
（0.25，0.5） 0.375 0.322
（0.25，0.375） 0.312 5 0.124
由于|0.312 5﹣0.25|＝0.062 5＜0.1，
∴原方程的近似解可取为0.312 5.
【点睛】思路点睛：本题考查利用函数的奇偶性求参数，证明函数的单调性和利用单调性解不等式.证明函数的单调性的基本步骤为：
(1)在给定的区间内任取变量，且设.
(2)作差变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.
(3)判断符号，得出的大小.
(4)得出结论.
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