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函数的奇偶性
学习目标：
1.理解函数奇偶性的定义，能从数和形两个角度理解奇函数和偶函数；
2.会判断给定函数的奇偶性；
3.能利用函数奇偶性把函数一侧的性质转化另一侧的性质讨论．
知识要点：
1.偶函数的定义
（1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且，那么函数就叫做偶函数；
（2）一个函数为偶函数的充要条件是函数的图象关于___对称；
（3）偶函数的定义域关于_____对称．
2.奇函数的定义
（1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且，那么函数就叫做奇函数；
（2）一个函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于___对称；
（3）奇函数的定义域关于_____对称；
（4）若为奇函数且在处有定义，则____．
3.函数的对称性
（1）已知，则图象关于_____对称；
（2）已知，则的图象关于_____对称．
典型例题：
题组一：函数奇偶性的的判断
1. 判断下列函数的奇偶性:
（1）
（2）
（3）
（4）.
【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数；(2)奇函数；(3)既不是奇函数也不是偶函数；(4)偶函数.
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，利用函数奇偶性定义判断即可.
【详解】（1）函数的定义域为{且}，
定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.
（2）的定义域是.
当时，显然，.
，是奇函数.
（3）的定义域为R.
，，.
不是偶函数.又，不是奇函数.
既不是奇函数也不是偶函数.
（4）的定义域为R.
，
是偶函数.
2. 判断下列函数的奇偶性：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）
【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.
【解析】
【分析】（1）函数的定义域为不关于原点对称，非奇非偶；
（2）函数的定义域是且，既是奇函数又是偶函数；
（3）定义域关原点对称，偶；
（4）定义域关原点对称，奇函数．
【详解】（1）由得，∴函数的定义域为，
不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由得，即．
∴函数的定义域是，关于原点对称．
又，∴既是奇函数又是偶函数．
（3）函数的定义域为，关于原点对称．
又∵，
∴是偶函数．
（4）当时，，则
，
当时，，则
综上，对，都有． ∴为奇函数．
题组二：含参数的奇函数或偶函数
3. 已知函数是上的偶函数，求实数的值．
【答案】．
【解析】
【分析】根据题意，得到，列出方程，结合系数对应相等，即可求解.
【详解】因为函数是R上的偶函数，所以，
即对任意实数恒成立，解得，
即实数的值为．
4. 已知是定义在上的奇函数，且，求的解析式．
【答案】．
【解析】
【分析】由为奇函数，可得，从而可求出，由可求出的值，进而可求出函数解析式
【详解】∵为奇函数，
∴，∴.
由，得，
∴，检验符合．
题组三：函数奇偶性的应用
5. 定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示：
（1）请在坐标系中补全函数的图象；
（2）比较与的大小.
【答案】（1）图见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的图象特征可作出函数的图象；
（2）结合图象可得出与的大小关系.
【详解】（1）因为是奇函数，所以其图象关于原点对称，如下图所示：
（2）观察图象，知.
【点睛】本题考查奇函数图象的补全，同时也考查了奇函数图象的应用，解题的关键就是要根据奇函数的图象特征作出函数的图象，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
6. 已知函数的图象关于原点对称，且当时，，试求在上的解析式．
【答案】．
【解析】
【分析】由函数的图象关于原点对称，得到，结合题设条件和函数的奇偶性，即可求解.
【详解】由题意，函数的图象关于原点对称，
即函数为奇函数，所以
因为当时，，
设，则，可得，
又由当时，，
所以函数的解析式为.
题组四：奇偶性与单调性的综合
7. 设函数在上是偶函数，且在上是增函数，比较与的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
判断在上是减函数，计算，根据函数单调性得到答案.
【详解】因为函数是偶函数，且在上是增函数，
所以且在上是减函数.
因为，所以，
因此.
【点睛】本题考查了利用函数单调性和奇偶性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
8. 偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数单调性的定义，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为当时，不等式恒成立，所以有，即
，所以函数在上单调递增，
因为函数的图象经过点，所以，
因此由，可得，函数是偶函数，且在在上单调递增，所以由，
故答案为：
题组五：抽象函数的性质的研究
9. 设函数（，且）对任意非零实数，，恒有．
（1）求及的值；
（2）判断函数的奇偶性．
【答案】（1）；；（2）偶函数．
【解析】
【分析】（1）令，可求出，令，可求出，
（2）取，，则可得，再结合定义域可得结论
【详解】解：（1）对任意非零实数，，
恒有，
∴令，代入，得，
解得
令，代入，
得，
可得．
（2）取，，代入，
得
又函数的定义域为
∴函数是偶函数
10. 定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）.
（1）求，；
（2）判断的奇偶性，并证明；
（3）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）奇函数，证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）令可求出，令可得，再令，可得，再结合，可求出的值；
（2）令，对变形可得答案；
（3）由题意将转化为在上恒成立，由在上为单调函数，且；所以可得在上是增函数，所以问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，构造函数求出其最小值即可
【详解】解：（1）取，得，即，，
，又，得，可得；
（2）取，得，移项得
函数是奇函数；
（3）是奇函数，且在上恒成立，
在上恒成立，且；
在上是增函数，
在上恒成立，
在上恒成立，
令.
由于，.
，
，即实数k的取值范围为.
当堂检测：
11. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶函数的定义和初等函数的单调性逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于A：的定义域为关于原点对称，，可知且，所以是非奇非偶函数，是增函数，故选项A不正确；
对于B：的定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，故选项B不正确；
对于C：的定义域为，关于原点对称，且
是奇函数，在和单调递增，但不是定义域内的增函数，故选项C不正确；
对于D：，作出其图象如图所示：
图象关于原点对称，是奇函数，且是增函数，故选项D正确；
故选：D.
12. 请写出一个同时满足下列三个条件的函数：
（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.
则__________.
【答案】 (答案不唯一).
【解析】
【分析】举出符合条件的函数即可.
【详解】如，
，，所以是偶函数；
时，，所以在上单调递减；
，的值域是.
故答案为：.答案不唯一.
13. 判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]；
（2）f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|.
【答案】（1）偶函数；（2）奇函数.
【解析】
【分析】先判断函数定义域是否关于原点对称，若对称，则利用函数奇偶性的定义判断即可
【详解】（1）因为，所以的定义域关于原点对称，
因为
所以为偶函数；
（2）定义域为R，关于原点对称，
因为
所以为奇函数
14. 设定义在上的奇函数在区间上单调递减，如果，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数在上为减函数，则可以转化为，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，是在上的奇函数，且在区间上是单调减函数，
则其在区间上递减，则函数在上为减函数，
，得
解得：；
即实数的取值范围是；
故答案为：．
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函数的奇偶性
【知识要点】
1.偶函数的定义
（1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
（2）一个函数为偶函数的充要条件是函数的图象关于___对称.
2.奇函数的定义
（1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
（2）一个函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于___对称.
（3）如果为奇函数且在处有定义，那么.
【公式概念应用】
1. 若函数为上的偶函数，且，则（ ）
A. -3 B. 3 C. 2 D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】由奇偶性的概念可以直接求解.
【详解】函数为上的偶函数，所以，
故选：B
2. 已知函数是定义域上的奇函数，确定的解析式.
【答案】
【解析】
【分析】利用奇函数的定义可得出，求出实数的值，即可得出函数的解析式.
【详解】由于函数是定义域上的奇函数，则，
即，化简得，因此，.
3. 已知函数是定义域在上的奇函数，当时，，求出函数在上的解析式.
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的性质得出，再设，求得，利用奇函数的性质可得出函数在上的解析式，综合可得出函数的解析式.
【详解】设，则，
又是定义在上的奇函数
，
又
4. 已知函数，判断的奇偶性并证明．
【答案】偶函数，证明见解析.
【解析】
【分析】先求出定义域，求出，得出与的关系得出答案.
【详解】函数是偶函数;
证明：由知的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
∴为偶函数．
参考答案：
【知识要点】
1.偶函数定义
（1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
（2）一个函数为偶函数充要条件是函数的图象关于___对称.
2.奇函数的定义
（1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
（2）一个函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于___对称.
（3）
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函数的奇偶性
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 下列函数中：①②③④偶函数的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的定义：定义域关于原点对称且，判断各项是否为偶函数，进而确定正确选项.
【详解】①，定义域是，满足，所以是奇函数；
②，定义域是，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；
③，定义域是R，满足，所以是偶函数；
④，定义域是，当时，当时，满足，所以是偶函数．
故选：C.
2. 已知函数f（x）是偶函数，则下列方程一定是函数f（2x+1）的图象一条对称轴方程的是（ ）
A. x＝﹣1 B. x＝﹣ C. x＝1 D. x＝
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知偶函数的对称性以及函数图象的变换可得答案．
【详解】由f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位可得f（2x+1），故此时函数的图象关于x＝对称．
故选：B．
3. 函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A. [－2，2] B. [－1，2] C. [0，4] D. [1，3]
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可.
【详解】由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又在单调递减，∴得，即﹒
故选：D．
4. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，，则______；不等式的解集为______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根据函数是偶函数，则定义域关于原点对称即可求得参数的值；利用函数单调性，等价转化抽象函数不等式，即可求得不等式解集.
【详解】依题意，，解得:，
故函数在上单调递增，
故等价于，解得:，
故不等式的解集为:
故答案为：1；
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求不等式，属综合基础题.
5. 判断下列函数的奇偶性：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）
【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.
【解析】
【分析】（1）函数的定义域为不关于原点对称，非奇非偶；
（2）函数的定义域是且，既是奇函数又是偶函数；
（3）定义域关原点对称，偶；
（4）定义域关原点对称，奇函数．
【详解】（1）由得，∴函数的定义域为，
不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由得，即．
∴函数的定义域是，关于原点对称．
又，∴既是奇函数又是偶函数．
（3）函数的定义域为，关于原点对称．
又∵，
∴是偶函数．
（4）当时，，则
，
当时，，则
综上，对，都有． ∴为奇函数．
能力提升
6. 已知函数，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数进行求导，可得出函数的单调性，再得出函数的奇偶性，利用充分必要条件的定义判断可得选项.
【详解】由题意可得：恒成立，所以函数在上递增，
又，所以函数是奇函数，
当 时，即，所以，即；
当时，即，所以，即，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
7. 如果存在一个非零常数，使得对定义域中的任意的，总有成立，则称为周期函数且周期为.已知是定义在上的奇函数，且的图象关于直线（，为常数）对称，证明：是周期函数.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由函数的奇偶性和对称性分别得到，，再利用周期函数的定义证明.
【详解】∵是定义在上的奇函数，
∴，
∵的图象关于直线（，为常数）对称，
所以，
∴.
从而.
∴是周期函数，且周期为.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围;
（3）当时，若，不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义求解析式即可；
（2）讨论两种情况，根据二次函数的单调性确定的范围；
（3）根据函数的单调性解不等式得出，再求出实数的取值范围.
【详解】解：（1）由是定义在上的奇函数，所以；
又时，，
所以时，，所以
所以的解析式为；
（2）①若，由图在上递增；
②，在上先减再增
综上，；
（3）当时，，可得函数是定义域上的单调增函数
又是定义域上的奇函数，
由，不等式成立，可得
，
.
【点睛】方法点睛：对于函数不等式的恒能成立问题，一般可以采用以下方法：
1、，都有成立，则
，都有成立，则
2、，使得成立，则
，使得成立，则
挑战创新
9. 已知函数我们定义其中
（1）判断函数的奇偶性，并给出理由；
（2）求方程的实数根个数；
（3）已知实数满足其中求实数的所有可能值构成的集合.
【答案】（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由函数奇偶性的定义运算即可得解；
（2）令，转化条件为或或或，再解方程即可得解；
（3）按照、分类，结合函数的单调性可得，再代入验证即可得解.
【详解】（1）因为的定义域关于原点是对称的，
又，故函数是偶函数；
（2）令，则，
于是，
于是或
又，解得或或或，
则方程的实数根个数即为或或或的根的总个数，
解得或或或或或，
所以方程的实数根个数为11；
（3）因为，
当时，在单调递减，且，，
则的值域均为，
①当时，，于是，
因为当时，，
所以，
所以，即，
注意到在单调递减，
于是，
于是，
②当时，类比同理可得
，
于是当且时，，
若，其中，，
则，即，也就是；
当时，因为的值域为，所以存在使得，
又，
所以，
即，
所以实数的所有可能值构成的集合为.
【点睛】本题考查了函数奇偶性、函数与方程及函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于难题.
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