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分数指数幂
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 设，则下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由有理数指数幂的运算性质和分数指数幂的意义直接判断即可.
【详解】当时，，故A错；，故B错；，故D错.
故选：C.
2. 已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，所以，，
因为、均为正数，所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
3. 下列化简结果中正确的有（字母均为正数）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用指数的运算性质可判断ABC选项的正误，利用特殊值法可判断D选项的正误.
【详解】由指数幂的运算性质可得，，，AB选项正确，C选项错误，
取，，则，D选项错误.
故选：AB.
4. 计算__________；若，则_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据指数幂运算法则即可计算出结果．
【详解】由
由
故答案为：；．
5. 化简求值.
（1）；
（2）.
【答案】(1)24；(2).
【解析】
【分析】(1)根据指数幂的运算性质进行运算；
(2)根据根式与分数指数幂的互化来进行运算.
【详解】(1) ；
(2)
.
能力提升
6. 我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《代数学》是一部介绍西方符号代数的数学著作，《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“”来表示“”，用“（甲⊥乙）三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“”．那么下列表述中所有正确的序号是（ ）
①“”表示“”；
②“”表示“”．
③“（甲⊥乙）二=甲二⊥二甲乙⊥乙二”表示“”．
A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目信息，结合指数幂的运算及完全平方和的展开式求解即可.
【详解】由题知，“”来表示“”，相当于同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以①②正确．
由“（甲⊥乙）三=甲三⊥三甲乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“（”可知⊥是加法，所以③是完全平方和公式,所以③正确.
故选：A.
7. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据根式与有理数幂的互化公式，结合立方差公式、指数幂运算公式，利用代入法进行求解即可.
【详解】，
将代入，得原式=．
故答案为：
8. （1）计算：；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由指数运算法则直接运算可得结果；
（2）根据、可直接求得结果.
【详解】（1）；
（2），；
，又，；
.
挑战创新
9. 已知函数，．
（1）证明：是奇函数；
（2）分别计算，的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于0的实数都成立的一个等式，并证明．
【答案】(1)证明见解析；(2)，；，证明见解析.
【解析】
【分析】(1) 根据函数的奇偶性定义，只需计算，判断其与的关系即可；
(2) 根据函数，的解析式，利用分数指数幂的运算，分别求出和的值，然后根据等式的规律得出结论，并进行证明即可.
【详解】（1）函数的定义域，关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数.
（2），
，
由此概括出对所有不等于零的实数有：，证明如下：
，
因此，等式成立.
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分数指数幂
学习目标：
1.理解次方根意义，理解根式表示的意义；
2.理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的转化；
3.掌握指数幂的运算规则，会进行简单的化简.
知识要点：
1次方根
（1）如果_____，则称为的次方根，其中.
（2）当为奇数时，正数的次方根为一个____，负数的次方根是一个___.
（3）当为偶数时，正数次方根为有__个，它们互为___，正的次方根记为__，负的次方根记为__，负数__偶次方根.
（4）零的任何次方根都是__.
2.根式
（1）式子叫做根式，其中叫____，叫做____.
（2），.
3.分数指数幂
（1）若，则用根式可表示为___.
（2）若，则用根式可表示为___.
（3）0的正分数指数幂等于__，0的福分数指数幂没有意义.
典型例题：
题组一 根式的运算
例1.
1. 计算_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】直接求解即可
【详解】解：，
故答案为：2
变式：
2. 的分数指数幂表示为____________
【答案】
【解析】
【分析】本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.
【详解】，
故答案为：.
题组二 分数指数幂运算
例2.
3. 设a>0，b>0，化简的结果是（ ）
A. B. C. D. -3a
【答案】D
【解析】
【分析】由分数指数幂的运算性质可得结果.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
变式：
4. 化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.
【详解】
故选：B
题组三 指数幂与根式的互化
例3
5. 将化成分数指数幂为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据根式和指数幂的关系计算即可.
【详解】，
故选：A.
变式
6. 代数式（其中x＞0）可化简为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用分数指数幂与根式的运算性质求解
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：
题组四 分数指数幂的化简与求值
例4.
7. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】已知等式平方可求得，然后结合因式分解求值．
【详解】，所以，
所以．
故答案为：．
变式
8. 已知，其中，求的值．
【答案】1
【解析】
【分析】将化为，利用平方差公式分解因式后，代入可得结果.
【详解】由可知，
所以
==1.
当堂检测：
9. 下列各等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分数指数幂的定义判断．
【详解】，，，，只有B正确．
故选：B．
10. 若，则___________.
【答案】6
【解析】
【分析】将化为，两边平方即可求得的值.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：6.
11. 若有意义，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，根据式子有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由，要使得有意义，则满足，解得，
即实数的取值范围为．
故选：B．
12. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）112；（2）.
【解析】
【分析】由分数指数幂的运算法则和根式与指数幂的互化可得答案 。
【详解】（1）原式=；
（2）原式.
参考答案：
知识要点：
1.（1）.（2）正数，负数.
（3）两个，相反数， ， ，没有.
（4）0.
2. （1）根指数，被开方数.（2），.
3.（1）.（2）.（3）0.
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分数指数幂
【知识要点】
1.次方根
（1）如果_____，则称为的次方根，其中.
（2）当为奇数时，正数的次方根为一个____，负数的次方根是一个___.
（3）当为偶数时，正数的次方根为有__个，它们互为___，正的次方根记为__，负的次方根记为__，负数__偶次方根.
（4）零的任何次方根都是__.
2.根式
（1）式子叫做根式，其中叫____，叫做____.
（2），
3.分数指数幂
（1）若，则用根式可表示为___.
（2）若，则用根式可表示为___.
（3）0的正分数指数幂等于__，0的福分数指数幂没有意义.
【公式概念应用】
1. 若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根式与指数幂的运算性质，化简得到，即可求解.
【详解】根据根式和指数幂的运算性质，因为，
可化为，即，
可得，所以，即．
故选：B.
2. 化简·的结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数幂的运算性质，可求出答案.
【详解】由题意，可知，
∴·.
故选：A.
3. 计算：___________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，
可得．
故答案为：
4. 化简
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）4
【解析】
【分析】（1）利用根式和分数指数幂的互化运算即可得解；
（2）结合指数的运算性质即可得解.
【详解】（1）由题知，原式；
（2）原式
【点睛】方法点睛：本题考查指数幂的运算，解题时一定要先把小数或带分数化成假分数，再利用分数指数幂的运算，化简求值，考查学生的计算能力，属于基础题.
参考答案：
【知识要点】
1.（1）.（2）正数，负数.
（3）两个，相反数，，，没有
（4）0.
2.（1）根指数，被开方数.（2），.
3.（1）.（2）.（3）0.
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