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对数的概念
【知识要点】
1.对数的概念
（1）一般地，如果，那么叫做以为底的对数，记为___，其中叫做对数的___，叫做对数的___（注：）.
（2）以为底的对数叫做_____，并把记为____；把以无理数 为底的对数称为_____，并把记为____.
2.几个恒等式
（1）____；
（2）____，____，____.
【公式概念应用】
1. 以下对数式中，与指数式等价的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数式和对数式的关系即可得出.
【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于.
故选：A.
2. 已知，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对互化，解方程即可.
【详解】由，得，得
故选：A.
【点睛】本题考查了利用指对互化解方程的问题，属于基础题.
3. 在中，实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的概念与性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，要使式子有意义，则满足，
解得或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
4. 求下列各式中的的值
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【解析】
【分析】
结合指数式与对数式的互化原则以及指对式的运算法则求解得结果.
【详解】（1）由可得；
（2）由可得，且，所以；
（3）由得，所以；
（4）由得，所以，；
（5）由，得；
（6）由，所以.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数式与指数式的互化，指数幂的运算化简求值问题，在解题的过程中，正确解题的关键是掌握指对式的互化原则，指数幂的运算法则.
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对数的概念
学习目标：
1.理解对数的概念，掌握对数的性质；
2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.
知识要点：
1.对数的概念
（1）一般地，如果，那么叫做以为底的对数，记为___，其中叫做对数的___，叫做对数的___（注：）.
（2）以为底的对数叫做_____，并把记为____；把以无理数 为底的对数称为_____，并把记为____.
2.几个恒等式
（1）_____；
（2）_____，_____，_____.
典型例题：
题组一 对数概念辨析
例1.在中，实数的取值范围是（ ）
A.或 B.
C. D.且
变式：在中，实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
题组二 对数式与指数式的互化
例2.下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
变式：下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A.与 B.＝与
C.与 D.与
题组三 对数式的求值与化简
例1.求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
变式：已知，则__________________________
当堂检测
1. 指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】利用指对数的等价关系即可得出.
【详解】.
故答案为：，，，.
2. 若，，求___________.
【答案】
【解析】
【分析】将，相除后利用指数转化为对数即可求解.
【详解】解：，，
则即，则，
故答案为：.
3. 已知x＝log23，求.
【答案】
【解析】
【分析】由指对互化，解得，结合立方公式代入求值即可．
【详解】由x＝log23，得，∴，∴23x＝(2x)3＝33＝27,，
∴
【点睛】本题考查指数幂的运算，考查指对互化，属于基础题．
4. 若成立，求x的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的定义列出不等式即可求解
【详解】由已知得且，所以且
所以x的取值范围为
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对数的概念
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 对于下列说法：
（1）零和负数没有对数；
（2）任何一个指数式都可以化成对数式；
（3）以10为底的对数叫做自然对数；
（4）以e为底的对数叫做常用对数．
其中错误说法的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由对数的相关概念可判断四个命题是否正确.
【详解】解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N x＝logaN，故（2）错误．由定义可知（3）（4）均错误．只有（1）正确．
故选:C.
【点睛】本题考查了对数的相关概念，属于基础题.
2. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，令，从而得到，即可得答案；
【详解】令，得，则，.
故选：B.
【点睛】本题考查对数的概念及运算，属于基础题.
3. 已知函数，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算，从而得到，即可得到答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
4. 已知，求x的值．
【答案】64
【解析】
【分析】利用指数和对数的形式转化求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
则.
5. 求下列各式中的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【解析】
【分析】（1）将对数式化为指数式，由此求得的值.
（2）利用对数运算求得的值.
（3）将对数式化为指数式，由此求得的值.
（4）利用对数运算求得的值.
（5）将指数式化为对数式，由此求得的值.
（6）利用对数运算求得的值.
【详解】（1）.
（2）.
（3）（负根舍去）
（4）.
（5）.
（6）
【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.
能力提升
6. 已知，且，把底数相同的指数函数与对数函数图象的公共点称为(或)的“亮点”；当时，在下列四点中，能成为“亮点”的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
将选项对应点代入检验即可.
【详解】由题意得，，
由于，所以点 不在函数的图象上，所以点 不是“亮点”；
由于，所以点不在函数的图象上，所以点不是“亮点”；
由于，，所以点在函数和的图象上，所以点是“亮点”；
由于，，所以点在函数和的图象上，所以点是“亮点”．
故选:CD.
【点睛】结论点睛:此题考查互为反函数的公共点问题:
（1）当互为反函数的两函数有公共点时，其公共点不一定在直线上；
（2）当互为反函数的两函数有一个与直线有公共点时，则另一个也与有公共点，且公共点同一.
7. 代数式有意义时，求x的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据对数的概念得到，再解不等式组即可.
【详解】由题意可得解得．
故答案为：
8. 已知函数满足：
（1）求的值，并求函数的解析式；
（2）判断并用定义证明函数的单调性．
【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接代入求出，用换元法求函数的解析式；
（2）先判断函数在上单调递减，再用定义法进行证明.
【详解】解：（1）函数满足：
．
设，则，
，
．
（2）函数在上单调递减
证明：，
在内任取，，且，
，
，
，，
，
在上是单调递减函数．
挑战创新
9. 设函数，且．
（1）求函数的解析式及其定义域；
（2）讨论函数的单调性，并求函数的值域．
【答案】（1）；；（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减，.
【解析】
【分析】（1）根据，和对数的运算法则，可得，注意函数的定义域，即，再利用指数和对数的互化即可求得求的解析式，定义域；
（2）根据复合函数的单调性进行判断，外函数是增函数，内含式在上单调递增，在上单调递减，从而求得函数的单调性，并根据单调性求得函数的值域．
【详解】解：（1），
，
即；
（2）由（1）知，；
令在，上单调递增，在上单调递减，
而是增函数，
在，上单调递增，在上单调递减，
，当时，取最大值．
的值域为，．
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