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任意角
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 2021°角的终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据终边相同的角的表示，将化为之间，从而判断角所在象限.
【详解】解：，所以所在的象限为第三象限.
故选：C
2. 角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可.
【详解】∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
3. 终边落在轴上的角的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用象限角、周线角的定义依次判断选项即可.
【详解】A表示的角的终边在x轴非负半轴上；
B表示的角的终边x轴上；
C表示的角的终边在y轴上；
D表示的角的终边在y轴非负半轴上.
故选：C
4. 若是第四象限，则是第__．
【答案】三象限角
【解析】
【分析】根据对称性可知是第一象限角，然后再根据任意角的定义,即可得到所在象限.
【详解】因为是第四象限的角，所以是第一象限角，
则由任意角的定义知，是第三象限角．
故答案为：三象限角．
5. 如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；
由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.
【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
；
如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1=，M2=.
所以阴影部分内的角的集合为
或.
能力提升
6. 若α的终边在第一、第三象限的角平分线上，则2α的终边在___________．
【答案】y轴的非负半轴上
【解析】
【分析】根据α的终边在第一、第三象限的角平分线上，利用终边相同的角求解.
【详解】因为α的终边在第一、第三象限的角平分线上，
所以α＝45°＋k·180°，k∈Z，
所以2α＝2×45°＋2k·180°，k∈Z，
＝90°＋k·360°，k∈Z.
所以2α的终边在y轴的非负半轴上
故答案为：y轴的非负半轴上
7. 在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）内的角．
【答案】（1）；（2）；（3）、、、.
【解析】
【分析】先找到与角终边相同的角的表示，在对（1）、（2）、（3）分别取适当的k值，求出待求角.
【详解】
和终边相同
其余的终边相同的角度可以写成
（1）当时是最小的正角，；
（2）当时是最大的负角，；
（3）当，，0，1时，、、、符合条件．
【点睛】终边相同（对称）的角的表示方法：
1、与β终边相同的角可表示为：；
2、与β终边关于x轴对称的角可表示为：；
3、与β终边关于y轴对称的角可表示为：；
4、与β终边关于原点对称的角可表示为：；
5、与β终边关于y=x轴对称的角可表示为：；
6、与β终边关于角θ对称的角可表示为：.
8. 已知角α＝2100°.
（1）将改写成的形式，并指出是第几象限的角；
（2）在区间上找出与终边相同的角．
【答案】（1），为第四象限角；（2）与终边相同的角．
【解析】
【分析】（1）求出2100°里含有360°的整数倍，然后改写即可；
（2）由终边相同角的表示方法求解．
【详解】（1），
是第四象限角，因此是第四象限角；
（2）与终边相同的角可表示为，
在区间上，则，依次可求得＝．
挑战创新
9. 已知角α＝45°，
(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；
(2)设集合，判断两集合的关系．
【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2).
【解析】
【分析】（1）所有与角有相同终边的角可表示为 列出不等式解出整数，即得所求的角．
（2）先化简两个集合，分整数k是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．
【详解】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；
而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而.
【点睛】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论．
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任意角
学习目标：
1.推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
2.理解任意角以及象限角的概念；
3.掌握所有与角终边相同的角（包括）的表示方法.
知识要点：
1.角概念
角可以看成是平面内_________绕着__________从一个位置________到另一个位置所形成的图形
2.正角、负角、零角
我们规定，一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个________.
3.象限角、轴线角的概念
（1）象限角：若角的顶点在_______，角的始边与_______重合，则_________，就称这个角是第几象限角.
（2）轴线角：若角的终边在______上，则这个角不属于任何象限.
4.终边相同的角
设表示任意角，所有与角终边相同的角，包括本身构成一个集合可记作.
典型例题：
题组一 任意角概念
例1．
1. “是锐角”是“是第一象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据锐角与象限角的概念及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为是锐角能推出是第一象限角，
但是反之不成立，例如是第一象限角，但不是锐角，
所以“是锐角”是“是第一象限角”的充分不必要条件，
故选：A
变式：
2. 设集合为锐角，为第一象限角，为小于90°的角，为小于90的正角，则下列等式中成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用角的表示方法，分别表示出集合，根据集合的大小关系，即可求解.
【详解】由题意，集合为锐角，
集合为第一象限角，
集合为小于90°的角，
集合为小于90的正角，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了角的表示方法及其应用，其中解答中熟记角的表示方法是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
题组二 终边相同的角
例2.
3. 终边在直线上的角的取值集合是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在到内终边在直线上的角是，由终边相同的角的表示方法可得出终边在直线上的角的集合，可得解.
【详解】角的取值集合为
，
故选D.
【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题.
变式：
4. 若＝2kπ＋ (k∈Z)，则的终边在( )
A. 第一象限 B. 第四象限
C. x轴上 D. y轴上
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，求得，得出，分类讨论，即可求得的终边，得到答案．
【详解】由题意，可得，∴，∴，
当为奇数时，的终边在轴的非正半轴上，
当为偶数时，的终边在轴的非负半轴上，综上可知，终边在轴上，故选D．
【点睛】本题主要考查了角的终边的判定，其中解答中正确求解，分类讨论判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
题组三 象限角
例3.
5. 若是第一象限角，则终边在
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第一象限或第三象限 D. 第一象限或第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
利用是第一象限角，得出角的范围，从而可得的范围.
【详解】因为是第一象限角，所以，所以，;
当为偶数时，终边在第一象限；当为奇数时，终边在第三象限；故选C.
【点睛】本题主要考查角的终边所在象限，一般是利用角的范围求解.题目较为简单.
变式：
6. 的终边在第三象限，则的终边可能在（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一、二象限或轴非负半轴 D. 第三、四象限或轴非正半轴
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置.
【详解】由于的终边在第三象限，则，
所以，，
因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴.
故选：C.
【点睛】本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题.
当堂检测：
7. 下列说法正确的个数是（ ）
①大于等于，小于等于的角是锐角； ②钝角一定大于第一象限的角；
③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角的度数为．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据锐角、钝角以及象限角、轴线角的概念逐一判断命题①②③④的正误，可得出结论.
【详解】①错，和角不是锐角；
②错，角是第一象限的角，大于任何钝角；
③错，第二象限角中的角小于第一象限角中的角；
④错，始边与终边重合的角的度数是．
故选：A．
【点睛】本题考查象限角及轴线角，考查角的有关概念的理解，是基础题．
8. 若与的终边互为反向延长线，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两角终边之间的关系可得出结论.
【详解】与的终边互为反向延长线，则两角的终边相差的奇数倍，
可得．
故选：D.
【点睛】本题考查利用两角终边的关系推出两角的关系，考查理解能力，表达能力，属于基础题．
9. 角的终边与的终边关于对称,则_______
【答案】
【解析】
【分析】根据角的终边与的终边关于对称,和终边相同的角的表示方法可得答案.
【详解】 是第一象限的角平分线，所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法以及终边有一定的关系的两个角的表示方法，属于基础题.
10. 写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）在范围内找出终边为区域两条边界线对应的角，由此可得出阴影部分区域所对应的角的集合；
（2）写出两个区域角的集合，取并集即可得出结果.
【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为，
因此，阴影部分区域所表示的集合为；
（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为为，
图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为
，
因此，阴影部分区域所表示角的集合为.
【点睛】本题考查角的集合的表示，一般要求出区域边界线对应的角，考查计算能力，属于基础题.
知识要点：
1.一条射线，端点，旋转
2.逆时针，负角，零角
3.原点，x轴非负半轴，角的终边在第几象限，坐标轴
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任意角
【知识要点】
角的概念
角可以看成是平面内_________绕着__________从一个位置________到另一个位置所形成的图形
1． 正角、负角、零角
我们规定，一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________，如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个________．
2． 象限角、轴线角的概念
（1） 象限角：若角的顶点在_______，角的始边与_______重合，则_________，就称这个角是第几象限角．
（2） 轴线角：若角的终边在______上，则这个角不属于任何象限．
3． 终边相同的角
设表示任意角，所有与角终边相同的角，包括本身构成一个集合可记作．
【公式概念应用】
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 终边相同的角一定相等 B. 钝角一定是第二象限角
C. 第一象限角一定不是负角 D. 小于的角都是锐角
【答案】B
【解析】
【分析】利用角的概念及其推广对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】终边相同的角不一定相等，所以选项A错误；
钝角一定是第二象限角，所以选项B正确；
第一象限角可能是负角，如是第一象限的角，且是负角，所以选项C错误；
小于的角不都是锐角，如，所以选项D错误．
故选：B
2. 与角终边相同的角是（ ）
A. 221° B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据终边相同的角相差的整数倍，逐个判断即可.
【详解】余，故A正确，B、 C、 D中的角均不与角终边相同.
故选：A.
【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题.
3. 分针一小时所转过的角是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据任意角的定义求解即可.
【详解】因为一小时等于六十分，即分针顺时针走了一圈，所以分针一小时所转过的角是
故答案为：
4. 将化为的形式，则当最小时，的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据角的表示方法，求得，即可求解.
【详解】由角的表示方法，可得，此时，所以.
故答案为：
5. 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合．（包括边界）
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】由题意直接利用终边相同的角的集合的表示方法表示即可．
【详解】解：（1）图中阴影区域内的角的集合为
（2）图中阴影区域内的角的集合为
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