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对数的运算
【知识要点】
1如果，且，，那么
（1）；
（2）；
（3）（）；
2（1）（其中）；
（2）；
（3）
【公式概念应用】
1. 下列计算恒成立的是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的运算性质一一验证选项即可得正确答案.
【详解】因为，所以A不对；
因为，所以B不对；
因为，所以C不对；
因为，D正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.
2. （1）计算：___________.（2）=________.
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算和指数运算求解；
（2）利用对数的换底公式求解.
【详解】（1）原式.
（2）由对数的换底公式可得：
.
故答案为：，1.
3. 已知，，试用，表示
【答案】
【解析】
【分析】利用指数与对数的互化得到，进而结合换底公式以及对数的运算即可求出求出结果.
【详解】由得，
.
4. 已知a，b，c均为正数，且，求证：；
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证.
【详解】设，则.
∴，
∴，
而，
∴，得证.
参考答案：
【知识要点】
1.（1）；（2）；（3）（）；
2.（1）；（2）；（3）.
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对数的运算
学习目标：
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件；
2.掌握换底公式及其推论；
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识要点：
1.如果，且，，那么
（1）；
（2）；
（3）（）；
2.（1）（其中）；
（2）；
（3）
典型例题：
题组一 对数运算性质辨析
1. (多选)下列式子中成立的是(假定各式均有意义)（ ）
A. logax·logay＝loga(x＋y) B.
C. ＝loga D. ＝logax－logay
【答案】BC
【解析】
【分析】利用对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】A，由对数的运算可得logax·logayloga(x＋y)，错误；
B，根据换底公式可得，正确；
C，由对数的运算可得＝loga，正确；
D，，错误.
故选：BC
2. 若，且，则下列等式中不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．
【详解】对于A，时， ，但是无意义，该等式不正确；
对于B，时， ，但是无意义，该等式不正确；
对于C，，按照对数的运算法则，该等式正确；
对于D，由换底公式得，，该等式正确．
故选AB．
【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．
题组二 利用对数运算性质化简求值
3. 计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2）
（3）
【答案】（1）3；（2）1；（3）-7.
【解析】
【分析】利用对数的运算性质化简计算即可.
【详解】（1）原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2
=3lg 5+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2
=3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)
=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.
（2）原式=
（3）原式=
4. 若是方程的两个实根，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】令，将方程化为，利用韦达定理可求得和，将所求式子利用对数运算法则进行转化，代入和即可求得结果.
【详解】原方程可转化为，令，则，
设方程的两根为，可设，，
.
题组三 利用对数的性质与运算性质用对数表示对数
5. 已知，，用、表示.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的换底公式得出，且有，结合对数的运算性质化简计算即可.
【详解】，由对数的换底公式可得，
所以，.
【点睛】本题考查对数的化简计算，考查了对数运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
6. 若，，求的值.
【答案】2
【解析】
【分析】将，，转化为对数，再利用对数运算分别求得，，进而得到求解.
【详解】因为，，
所以，
则，，
所以，
所以.
题组四 与指对数有关的恒等式的证明
7. 设，且，求证：
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】首先设，得到，，，根据得到，再利用换底公式即可证明.
【详解】设，，则，，.
因为，所以，
即.
所以，即.
【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于简单题.
8. 若、、都是正数，且，则（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. .
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数定义求出、、，再根据对数的运算性质可得logM4+logM9=2logM6，即可得到答案
【详解】解：由、、都是正数，设，
则，则，，，
所以对于A选项，，故错误；
对于B选项，，所以，故满足；
对于C选项，，故错误；
对于D选项，，故错误.
故选：B．
当堂检测：
9. 对于且，下列说法正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
A. ①② B. ②③④
C. ② D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】①中若M，N小于或等于0时，不成立；②根据对数的运算即可判断；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确．
【详解】①中若M，N小于或等于0时，不成立；
②根据对数的运算易得，故正确；
③中M与N也可能互为相反数；
④中当M＝N＝0时不正确．所以只有②正确.
故选：C
10. 计算（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质与对数运算性质求解即可；
（2）根据对数运算法则求解即可.
【详解】解：（1）
；
（2）
.
11. 已知，用a，b表示以及.
【答案】,
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质与换底公式即可得出结论．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题主要对数的运算性质和换底公式，属于基础题．
12. 已知a，b，c满足.当a，b，c均为正数，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】设，转化为对数，再利用换底公式证明.
【详解】设，
所以，其中，
所以，，
所以.
参考答案：
知识要点：
1（1）；（2）；（3）（）；
2（1）；（2）；（3）.
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对数的运算
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 下列计算中结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
2. 已知，，，则的最小值是（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】将已知条件化简可得，将展开后利用基本不等式即可求解.
【详解】由可得，即
所以，所以
所以，
当且仅当即时，等号成立取得最小值2．
故选：C.
3. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（ ）
A. 10% B. 20% C. 30% D. 50%
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可．
【详解】由题意可知，，
，
故提升了，
故选：C．
4. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的换底公式以及运算性质即可求出．
【详解】．
故答案为：．
5. 计算下列各式的值：
（1）lg lg＋lg；
（2）lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg 2)2.
【答案】（1）；（2）3.
【解析】
【分析】利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
（2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
能力提升
6. 为实数，只要满足条件，就有不等式恒成立，则k的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质，可得，，，设，，原不等式可化为，由，可得，令小于等于的最小值即可.
【详解】由题意，，，，
设，，则，
又，所以原不等式可化为，
由，可得，则原不等式可化为，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设，，可将原不等式化为，进而结合的范围可得到.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
7. 已知，求．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用指对互化，可知，再利用换底公式化简求值.
【详解】，，又，
8. 已知，是方程的两个不等实根，且，求实数的值．
【答案】16
【解析】
【分析】根据韦达定理，可得，根据对数的运算性质可得，代入数据，即可得答案.
【详解】已知，是方程的两个不等实根，
则，且．
所以，则，即．
所以实数m的值为16.
挑战创新
9. 已知.
求（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）正数满足，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）25；（3）.
【解析】
【分析】（１）利用对数的运算得到，，，所以，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值；
（2）将通分合并，并利用化简为，然后利用“乘1法”，使用基本不等式求最值；
（3）根据，利用基本不等式的变形不等式，求得，进而求得的取值范围.
【详解】解：（1）因为，
所以，，，
所以，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，
此时取得最小值；
（2），
，
当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值25；
（3）因为，当且仅当时取等号，
解得，所以，
因为正数满足，所以，
故的取值范围.
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