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指数函数的图象和性质
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知函数，且当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数的性质求解即可
【详解】当时，，
解得，
故选：B.
2. 已知，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】引入中间两0、1即可比较大小.
【详解】因为，，，所以．
故选：B
【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数、对数的大小，属于基础题.
3. 若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对分类讨论，结合指数函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，列出方程，即可求解.
【详解】当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以；
当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.
综上可得，实数的值为或.
故选：BC
4. 若函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为__.
【答案】
【解析】
【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】函数中，由可得、，即函数的图象恒过定点，
若点在直线上，即有，
于是得，当且仅当时取“=”，
所以时，的最小值为.
故答案为：.
5. 已知函数且)的图像过点.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上的最大值是最小值的4倍，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）代入点，即可求出a得到函数解析式；
（2）根据指数函数的单调性求出函数的最值，利用最大值是最小值的4倍求m.
【详解】（1）因为函数且)的图像过点，
所以，解得，
所以
（2）由（1）知，
所以函数为递减函数.
故函数在区间上的最大值，最小值分别为，，
所以，
即，解得.
能力提升
6. 设集合且，则中
A. 元素个数为 B. 元素个数为
C. 元素个数为 D. 含有无穷个元素
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数和幂函数单调性，可得不存在满足条件，即可得出结果.
【详解】，不妨设，
所以不存在，使得成立，
所以集合元素为0个.
故选:A.
【点睛】本题以集合元素为背景，考查幂函数、指数函数的单调性，考查推理能力，属于基础题.
7. 已知函数，，其中且.
（1）若，求关于的不等式的解集；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【解析】
【分析】(1)由指数函数单调性转化成一元一次不等式求解即得；
(2)根据指数函数单调性分类讨论即可作答.
【详解】(1)因，则有指数函数在R上单调递减，
，解得，
所以不等式的解集为；
(2)当时，在R上单调递减，
，解得，
当时，在R上单调递增，
，解得，
所以：当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集.
8. 函数和的图象，如图所示．设两函数的图象交于点，，且．
（1）请指出示意图中曲线，分别对应哪一个函数；
（2）结合函数图象，比较，，，的大小．
【答案】（1）对应的函数为，对应的函数为；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据图象可得结果；
（2）通过计算可知，再结合题中的图象和在上的单调性，可比较，，，的大小.
【详解】（1）由图可知，的图象过原点，所以对应的函数为，对应的函数为
（2）因为，，，，，，，，所以，，，
所以，所以
从题中图象上知，当时，；当时，，且在上是增函数，所以．
挑战创新
9. 已知函数（，且）的图象恒过定点.
（1）若正数，满足，求的最小值；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）由函数图象过定点求出的值，然后用“1”的代换凑出积的定值，用基本不等式得最小值；
（2）根据二次不等式与二次函数的性质得不等式的解集．注意分类讨论．
【详解】（1）在中，令得，即函数图象过定点，，
∴，
，当且仅当，即时，等号成立．
∴的最小值是．
（2）由（1）知不等式为式，即，
时，或，即解集为；
时，或，即解集为．
【点睛】易错点睛：本题考查指数函数的图象，考查基本不等式求最小值，解一元二次不等式．掌握指数函数的图象与性质是解题关键．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
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指数函数的图象和性质
【知识要点】
1.指数函数的图象和性质
（1）填表：
图象
定义域
值域
函数值的变化 当时，； 当时，. 当时，； 当时，.
性质 均过定点______
单调性：______________ 单调性：_____________
（2）对指数函数（），当越来越小时，其图象与_____的负半轴越来越靠近；对指数函数（），当越来越大时，其图象与____的正半轴越来越靠近.
（3）在第一象限内，底数越大，图象越_____.
2.指数函数的图象与的图象关于____对称.
【公式概念应用】
1. 比较下列各题中两个数的大小：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数函数的单调性比较出两者的大小关系.
（2）利用指数函数的单调性比较出两者的大小关系.
【详解】（1）由于在上递增，所以.
（2）由于在上递增，所以.
【点睛】本小题主要考查指数式比较大小，属于基础题.
2. 已知函数，若函数在是严格增函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数单调性，由题中条件，得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为函数在是严格增函数，
所以，解得或，
因此实数的取值范围是.
故答案为：
3. 若如图是指数函数（），（），（），（）的图象，则，，，与的大小关系是__________（用不等号“”连接，，，与）．
【答案】
【解析】
【详解】指数函数的图像在第一象限，按逆时针底数从小到大．即“底大图高”.
故答案为．
4. 函数且的图像必经过点________
【答案】
【解析】
【分析】指数函数（且）的图像必经过点，由此计算即可.
【详解】令，解得，当时，
所以函数且的图像必经过点.
故答案为：
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指数函数的图象和性质
学习目标：
1.理解指数函数的图象和性质；
2.掌握研究指数函数的一般方法，渗透数学抽象 数学计算等核心素养.
3.能运用指数函数图象和性质解决一些简单的数学问题
知识要点：
1.指数函数的图象和性质
（1）填表：
图象
定义域
值域
函数值的变化 当时，； 当时，. 当时，； 当时，.
性质 均过定点______
单调性：______________ 单调性：_____________
（2）对指数函数（），当越来越小时，其图象与_____的负半轴越来越靠近；对指数函数（），当越来越大时，其图象与____的正半轴越来越靠近.
（3）在第一象限内，底数越大，图象越_____.
2.指数函数的图象与的图象关于____对称.
典型例题：
题组一 大小比较与指数函数的单调性
例1
1. 比较下列各题中两个数的大小：
（1）
（2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数函数的单调性比较出两者的大小关系.
（2）利用指数函数的单调性比较出两者的大小关系.
【详解】（1）由于在上递减，所以.
（2）由于在上递减，所以.
【点睛】本小题主要考查指数式比较大小，属于基础题.
变式1：
2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数以及幂函数的性质，即可得出结果.
【详解】由幂函数性质可得：；由指数函数性质可得：，
∴，
又，∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数与幂函数的性质即可，属于基础题型.
题组二 含参数的函数的单调性
例2.
3. 已知是增函数，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性解题.
【详解】因为是增函数，
可得，
解得.
故答案为：.
变式：
4. 当时，函数的值总大于，则的取值范围是________．
【答案】或，
【解析】
【分析】
由指数函数的图象和性质可得即可求解.
【详解】因为时，函数的值总大于，
根据指数函数的图象和性质可得，解得：或，
故答案为：或，
题组三 判断指数函数的图象
例3.
5. 若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a－1)b____0.(填“>”“<”“＝”)
【答案】<
【解析】
【分析】先画出函数的草图得到化简不等式即得解.
【详解】已知函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．
由图象可得
所以
∴(a－1)b<0.
故答案为：＜
【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式：
6. 对于函数定义域中任意，有如下结论：
（）；
（）；
（）；
（）．
其中正确结论的序号是__________．
【答案】（2）（3）（4）
【解析】
【分析】（1）利用特殊值法进行判断；（2）利用指数的运算性质进行判断；（3）利用在R上为增函数进行判断；（4）为下凹函数.
【详解】取，，，二者不等（1）不正确； ，（2）正确； 在R上为增函数，（3）正确； 为下凹函数，（4）正确；其中正确命题的序号是（2）（3）（4）．
【点睛】函数判断题是常见的函数问题，要熟悉一些陌生函数表达符号，函数f(x)在某区间上满足说明函数在某区间上为增函数，函数f(x)满足说明函数f(x)的图像是下凹的．
题组四 图象过定点问题
例4.
7. 函数的图像恒过点___________；
【答案】
【解析】
【分析】当时，是定值，从而可求出函数图像恒过的定点
【详解】当时，是定值，
此时，，
所以函数的图像恒过点，
故答案为：
变式：
8. 已知直线方程经过指数函数的定点，则的最小值______________.
【答案】16
【解析】
【分析】
解出函数的定点，代入直线方程得，用“1”的替换及均值不等式计算即可.
【详解】解：指数函数的定点为，
因为直线方程定点，
所以，即
则
当且仅当即时取得最小值.
故答案为：16
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
题组五 指数函数在实际问题中的应用
例5.
9. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为________.（）（答案填整数）
【答案】
【解析】
【分析】解方程可得结果.
【详解】由可得，可得.
故答案为：.
变式：
10. 地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）.那么，级地震释放的能量是级地震释放的能量的__________.
【答案】103倍
【解析】
【分析】
设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为，由公式即可求出的值.
【详解】设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为,
,
,
即7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的103倍．
故答案为：103倍
当堂检测：
11. 已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为____.
【答案】m【解析】
【详解】考查指数函数的单调性．，函数在R上递减．由得：m视频
12. 函数图象所过定点坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，即可得出定点坐标.
【详解】令，得，因为，所以定点坐标为
故答案为：
13. 有下列四个判断：
①若在上是增函数，则；
②函数与函数只有两个交点；
③函数的最小值是1；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称.
其中正确的序号是__________.
【答案】③④.
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质，可判定①不正确；结合函数与函数的图象，可判定②不正确；由，所以，可判定③正确；根据指数函数的图象，可判定④正确.
【详解】对于①中，二次函数的对称方程为，
要使得函数在上时增函数，则满足，所以①不正确；
对于②中，作出函数与函数的图象，如图所示
结合图象，当时，两函数的图象只有一个交点，
当时，其中，两函数的图象有两个交点，
所以函数与函数只有两个交点，所以②不正确；
对于③中，因为，所以，所以函数的最小值是，
所以③正确；
对于④中，根据指数函数的图象，在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称，所以④正确.
故答案为：③④.
14. 已知，求的取值范围．
【答案】.
【解析】
【分析】由得在R上是增函数，进而，再解不等式即可得答案.
【详解】解：因为，
所以在R上是增函数．
所以 ，
解得.
所以x的取值范围是.
参考答案：
1.1.
图象
定义域
值域
函数值的变化 当时，； 当时，. 当时，； 当时，.
性质 均过定点
单调性：减函数 单调性：增函数
（2）轴，轴.
（3）高
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