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正弦函数、余弦函数的图象
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 函数在上的图像是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据余弦函数的图像与图像变换分析即可.
【详解】的图像为的图像往下平移2个单位所得.
故选：A
【点睛】本题主要考查了余弦函数的图像,属于基础题型.
2. 若的图像与的图象关于轴对称，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据、、与的图象特征依次判断即可得到结果.
【详解】对于A，，图象与重合，A错误；
对于B，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称，B正确；
对于C，当时，，可知其图象不可能与关于轴对称，C错误；
对于D，将位于轴下方的图象翻折到轴上方，就可以得到的图象，可知其图象与的图象不关于轴对称，D错误.
故选：B.
3. 下列各组函数中图象相同的是
①与
②与
③与
④与
A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】先利用诱导公式把各组函数进行化简，然后比较它们的图象即可得到结果.
【详解】解：由诱导公式知，
①与图象不同；
②与图象不同；
③与图象不同；
④与图象相同.
故选：.
【点睛】本题考查三角函数的图象和三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
4. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像的交点坐标为__________．
【答案】与
【解析】
【分析】联立函数解析式即可求解.
【详解】由题，令，即，解得或，，
当时，，当时，，
所以函数和的图像的交点坐标为与.
故答案为：与.
5. 利用正弦或余弦函数图象作出的图象．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先对函数化简得，然后画出的图象，将其图象轴下方的部分关于轴对称上去，和轴上方的原图象共同组成所求函数的图象
【详解】解：由，
所以的图象由的图象轴下方的部分关于轴对称上去，和轴上方的原图象共同组成，如图实线部分所表示的是的图象
【点睛】此题考查了余弦函数的图象，考查了诱导公式，考查了函数图象变换，属于基础题.
能力提升
6. 已知函数，则在上的零点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案.
【详解】∵
∴
设，画出图像
可得在图像上的零点的个数为3.
故选：C.
【点睛】本题考查函数零点的知识点，涉及到将零点的问题转换为函数的交点，考查了数形结合的思想,属于简单题型.
7. 在同一坐标系中，画出下列函数的大致图像，通过观察两条曲线，说明后者经过怎样的平移可得到前者．
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】用“五点法”可作出函数的大致图像，再观察分析．
【详解】分别列出两个函数图像上的五个关键点，如表所示：
0
0 1 0 0
0
0 1 0 0
画出函数图像，如图所示．
可将的图像向右平移个单位，得到的图像．
【点睛】本题主要考查了“五点法”作图，图象的平移，数形结合的思想，属于中档题.
8. 作出函数的大致图像．
【答案】图像见解析
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出函数和，然后保留两个函数图像中位于上方的部分即可画出.
【详解】先作出函数和的图像，如图所示：
只保留两个函数图像中位于上方的部分，
得到函数的图像，
如下图所示：
【点睛】本题考查了正弦函数的图像、余弦函数的图像、分段函数的图像，属于基础题.
挑战创新
9. 已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，．
（1）作出的图象；
（2）求的解析式；
（3）若关于x的方程有解，将方程所有解的和记作M，结合（1）中的图象，求M的值．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）根据图象的对称性作出y＝f（x）的图象．
（2）任取x∈[﹣π，]，则x∈[，]，由题意得．再根据当时，f（x）＝﹣sinx，
求出解析式．
（3）因为∈（﹣1，），f（x） 有4个根满足 x1＜x2x3＜x4，利用对称性求出M的值．
【详解】（1）y＝f（x）的图象如图所示．
（2）任取，则，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，又当时，，
所以
．
所以
（3）当时，．因为，所以结合图象可知，有4个解，分别设为，且4个解满足，由图象的对称性可知，
所以．
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象，根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．
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正弦函数、余弦函数的图象
学习目标：
1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法；
2.能用五点作图作出简单三角函数的图象，身体数形结合和化归的数学思想；
3.通过用不同的方法作正弦函数与余弦函数的图象，渗透直观想象、数学建模、数学抽象、逻辑推理等核心素养.
知识要点：
1.正弦函数的图象
（1）在以原点为圆心的单位圆中，角对应的终边与单位圆的交点的纵坐标为_____，从而可在坐标系中得到函数图象上的点.
（2）我们可以利用信息计算结合（1）可得，再将该图象向左向右平移（每次移动___个单位长度），就可以得到的图象.
（3）正弦函数的图象称为____曲线.
2.五点法
（1）在函数的图象上，以下五个点_______，_______，_______，_______，_______在确定函数图象时取确定性作用，描出这5个点，就可确定出前者的图象.
3.余弦函数的图象
（1）为了得到余弦函数图象，我们可以将的图象向左平移____单位.
（2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是_______，_______，_______，_______，_______.
典型例题：
题组一 五点法及其应用
例1.
1. 用“五点法”作函数在上的图象时，应取的五个点依次为___________ ___________ ___________ ___________ ___________.
【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤.
【解析】
【分析】根据正弦函数的“五点”，即可代换求出．
【详解】由的“五点”即可知，函数在上应取的五个点为，，，，．
故答案为：，，，，．
变式：
2. 利用“五点法”作出函数，的图像.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据五点作图法列出表格，然后描点，将这些点连成一条光滑的曲线，即为所求图象.
【详解】列表
描点，将这些点连成一条光滑的曲线，即为所求图象，如图：
题组二 （）的图象
例2.
3. 画出函数在长度为一个周期闭区间上的大致图象.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】化简函数解析式为，五点法列表、作图即可
【详解】函数解析式为，列表如下：
故函数在区间上的图象如下图所示：
变式：
4. 作出函数，的大致图象．
【答案】作图见解析．
【解析】
【分析】用“五点法”作出函数的大致图象.
【详解】列表：
描点并用光滑的曲线连接起来，得到函数的简图，如图：
题组三 与绝对值相关的正弦函数、余弦函数问题
例3.
5. 当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出；
（2）作出图象，根据图象观察即可解出；
（3）作出图象，根据图象观察即可解出．
【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.
（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
变式：
6. 已知函数．
（1）作出函数在上的图像；
（2）此函数是否为周期函数？若是，求出它的最小正周期．
【答案】（1）作图见解析；（2）是周期函数，最小正周期为.
【解析】
【分析】首先对函数分段讨论去掉绝对值符号.
（1）利用正弦函数的性质可作出函数在上的图像.
（2）由函数的图像可知该函数是周期函数，并通过图像能观察出周期.
【详解】.
（1）函数在上的图像如下图：
（2）由图像可知，该函数是周期函数，最小正周期为.
题组四 正弦函数、余弦函数图象应用
例4.
7. 函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作出函数的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为，
故选：C.
【点睛】用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取，，，，来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
变式：
8. 函数的部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断的奇偶性，排除A、B；再取特殊值，排除C，即可得到正确答案.
【详解】定义域为R.
∵，
∴为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B；
对于CD，令，解得：，即有三个零点，如图示，
取，有，
∵，∴.
排除C；
故选：D
【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
当堂检测：
9. 函数的简图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦函数的图象平移可得．
【详解】把的图象向上平移1个单位即可.
故选：D
【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查学生数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题．
10. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意化简函数的解析式，然后根据解析式作出函数的图象，进而数形结合即可求出结果.
【详解】因为时，，则，
因为时，，则，
故，
作出函数图象：
数形结合即可得到，
故选：B.
11. 已知，当时，__________；当时；__________；当时，__________.
【答案】 ①. ②. 或 ③. 或，
【解析】
【分析】直接利用三角函数的图象求解.
【详解】
，当时，；
当时；或；
当时，或，.
故答案为：；或；或，.
12. 用“五点法”作下列函数的简图.
（1）；
（2）.
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.
【解析】
【分析】（1）在坐标平面内描出横坐标分别为的函数图象上的点即可作答；
（2）在坐标平面内描出横坐标分别为的函数图象上的点即可作答.
【详解】（1）列表如下：
描点连线如图：
（2）列表如下：
描点连线如图：
知识要点：
1.（1）；（2）；（3）正弦.
2.，，，，，
3.（1）；（2），，，，.
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正弦函数 余弦函数的图象
【知识要点】
1.正弦函数的图象
（1）在以原点为圆心的单位圆中，角对应的终边与过为_____，从而可在坐标系中得到函数图象上的点.
（2）我们可以利用信息计算结合（1）可得，再将该图象向左向右平移（每次移动___个单位长度），就可以得到的图象.
（3）正弦函数的图象称为____曲线.
2五点法
（1）在函数的图象上，以下五个点_______，_______，_______，_______，_______在确定函数图象时取确定性作用，描出这5个点，就可确定出前者的图象.
3.余弦函数的图象
（1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移____单位.
（2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是_______，_______，_______，_______，_______.
【公式概念应用】
1. 用五点法作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A. 0，，π，，2π B. 0，，，，π
C. 0，π，2π，3π，4π D. 0，，，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据五点作图法，确定首先描出的五个点的横坐标.
【详解】由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：，，，，.
故选：A.
2. 已知点在余弦曲线上，则m＝（ ）
A. B. － C. D. －
【答案】B
【解析】
【分析】将点代入余弦函数中，计算可得选项．
【详解】因为点在余弦函数的图象上，所以，
故选：B．
3. 用“五点法”画余弦函数在内的大致图象.
【答案】图象见解析
【解析】
【分析】列表得到五点法中的五点，由此可得图象.
【详解】列表如下：
由此可得余弦函数在内的图象如下：
4. 根据的图象解不等式：．
【答案】或.
【解析】
【分析】先画出的图象，根据图象直接写出不等式的解集即可.
【详解】解：函数的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为或.
【点睛】本题考查余弦函数图象的应用，属于基础题.
参考答案：
【知识要点】
1（1）；（2）；（3）正弦.
2.，，，，，
3.（1）；（2），，，，.
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