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弧度制
知识要点】
1.弧度制
我们规定：长度等于_______长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度的单位用符号_____表示，读作弧度.
2.角度与弧度制的换算
;
;
3.弧长公式和扇形面积公式
（1）；
（2） ;
公式概念应用】
1. 将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用负角的定义及角度与弧度的互化，直接计算.
【详解】将分针拨快30分钟，则分针顺时针旋转180°，所以分针转过的弧度数是.
故选：A
2. 已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形面积，结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数的方程，即可解得.
【详解】解：设扇形圆心角的弧度数为，
因为扇形所在圆的半径为，且该扇形的面积为，
则扇形的面积为，
解得：.
故选：D.
【点睛】本题在已知扇形面积和半径的情况下，求扇形圆心角的弧度数，着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题.
3. 下列叙述中，正确的是（ ）
A. 1弧度是1度的圆心角所对的弧
B. 1弧度是长度为半径的弧
C. 1弧度是1度的弧与1度的角的和
D. 1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
【答案】D
【解析】
【分析】
根据弧度的定义即可判断.
【详解】根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.
故选：D．
4. 用弧度制表示所有与终边相同的角的集合是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解.
【详解】与终边相同的角的集合是。
故答案为：
【点睛】本题考查角单位互化、终边相同角的集合表示，属于基础题.
【知识要点】
1.半径长，rad
2.，
3.，
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弧度制
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B. 5弧度的角是第三象限的角
C. 若是第一象限角，则是第四象限的角
D. 若是第一象限角，则也是第一象限的角
【答案】D
【解析】
【分析】根据弧度制的定义和象限角即可判断每个选项的对错，从而得出答案.
【详解】对于选项A，由弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，故A错误；
对于选项B，第三象限角的取值范围为，，因为5不在此区间中，故B错误；
对于选项C，因为是第一象限角，所以，，
所以，，当时，，为第二象限角，故C错误；
对于选项D，因为是第一象限角，所以，，
所以，，是第一象限的角，故D正确.
故选：D.
2. 我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于（ ）弧度．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出一个密位所对的弧长，再求出60密位所对的弧长为，从而可求出60密位的弧度数
【详解】解：因为将一个圆周分成6000等份，每一份是一个密位，
所以一个密位所对的弧长，
所以60密位所对的弧长为，
所以60密位的弧度数为，
故选：B
3. 如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且AD=10，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式和扇形面积公式进行求解即可.
【详解】设，圆心角是.则，
解得，所以阴影部的面积为，
故选：A
4. 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A. B.
C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图先求∠AOM＝，再求AB＝r，最后求圆心角的弧度数
【详解】如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，
∴AM＝r，AB＝r，
∴l＝r，
则圆心角的弧度数.
【点睛】本题考查由弧长与半径求弧度数，是基础题.
5. 已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.
【答案】13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.
【解析】
【分析】（1）首先将圆心角化为弧度制，由已知结合扇形的面积公式与弧长公式即可直接求解；
（2）扇形周长，可得，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．
（3）依题意，则，则在利用基本不等式计算可得；
【详解】解：（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；
（2）扇形周长，
，
．
当且仅当，即时，扇形面积有最大值．
（3）扇形的面积，所以
所以当且仅当即时周长取得最小值
6. 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.
【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴.
设底面圆的半径为r,则有,解得,
所以这个圆锥的高为，
则这个圆锥的体积为.
故答案为：.
【点睛】立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.
7. 用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先写出边界对应射线所在终边的角，再根据图象写范围，注意虚实线；
（2）先写出边界对应射线所在终边的角，再根据图象写范围，最后求并集得结果.
【详解】（1）边界对应射线所在终边的角分别为
所以终边在阴影部分的角的集合为
（2）边界对应射线所在终边的角分别为
所以终边在阴影部分的角的集合为
=
【点睛】本题考查终边相同的角，考查基本分析求解能力，属基础题.
8. 已知为锐角，求证：.
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】根据三角函数线的定义分别作出角对应的正弦线和正切线，求出对应的弧长，结合图象可得，从而可证.
【详解】证明：如图，设锐角的终边与单位圆相交于点，过作轴，
设单位圆与轴的正半轴相交于点,过点作，交锐角的终边于点.
根据三角函数线的定义有：
在中，，
在中，.
∵，
∴.
∴.
而，
∴.
【点睛】本题主要考查三角函数值大小的比较，利用三角函数线的定义作出对应的正弦线和正切线，利用数形结合是解决本题得关键，属于中档题.
9. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积；
（2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可.
【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，
∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；
（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.
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弧度制
学习目标：
1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数；
2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；
3.掌握弧度制下的弧度公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决实际问题.
知识要点:
1弧度制
我们规定：长度等于_______长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度的单位用符号_____表示，读作弧度.
2.角度与弧度制的换算
;
;
3.弧长公式和扇形面积公式
（1）；
（2） ;
典型例题：
题组一 用弧度制表示角的集合
例1.
1. 终边在轴正半轴上所有角的集合为____________________．（用弧度制表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据终边相同的角的特征即可得到答案.
【详解】终边在x轴正半轴上所有角的集合为.
故答案为：
变式：
2. 设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有____________.（选填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】先将角化为的结构即可判断①是否正确，再适当地取k的值可以判断②和③是否正确.
【详解】因为，所以①正确，
令k=0，可得②正确；
令k=-1，可得③正确.
故答案为：①②③.
题组二 角度与弧度互化
例2.
3. 将–1485°化为2kπ+α（0≤α<2π，k∈Z）的形式是___________．
【答案】–10π+
【解析】
【详解】–1485°=–1485×=–=–10π+．故答案为–10π+．
变式：
4. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B. 的角是周角的，的角是周角的
C. 的角比的角要大
D. 用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，对于A中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的；
对于B中，周角为，所以的角是周角的，周角为弧度，所以的角是周角的是正确的；
对于C中，根据弧度制与角度制的互化，可得，所以是正确；
对于D中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D项是错误的.
故选ABC.
【点睛】本题主要考查了角度制与弧度制的概念，以及角度制与弧度制的互化，其中解中熟记角度制和弧度制的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
题组三 弧长公式和扇形面积公式
例3.
5. 在直径为的圆中，圆心角所对的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将角度转化为弧度，再由弧长公式即可求解
【详解】因为圆的直径为，所以圆的半径
因为，
所以圆心角所对的弧长为,
故选：B.
变式：
6. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件求得圆锥的母线长，进而可求得结果.
【详解】设圆锥的母线长为，则，解得.
所以此圆锥的表面积.
故选：C.
当堂检测：
7. 一个半径是的扇形，其周长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设扇形的弧长为，根据半径是，周长为的扇形，求出，再由公式计算出弧度数.
【详解】设扇形的弧长为，则，得，
则扇形圆心角的弧度数为.
故选：A.
【点睛】本题考查了扇形的弧长相关的计算，弧度的计算，属于基础题.
8. 下列命题中正确的是 ( )
A. 若两扇形面积的比是1∶4，则它们弧长的比是1∶2
B. 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C. 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D. 任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系
【答案】D
【解析】
【分析】由扇形面积公式S=lr（l是扇形的弧长，r是扇形半径）可知面积由弧长和半径乘积确定，从而判断A、B、C，再根据角的概念的推广判断D.
【详解】由扇形面积公式S=l·r，得到面积由弧长和半径乘积确定，而不是只由弧长确定，故A，B，C错误，把角的概念推广到任意角之后任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系，所以D正确.
【点睛】此题考查了扇形的面积公式以及角的概念的推广，属于基础题．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 若角，则角为第二象限角
B. 如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角
C. 若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D. 若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用负角的定义、象限角的定义和扇形面积公式对选项逐一判断正误即可.
【详解】选项A中，，故角为第二象限角，正确；
选项B中，以零时为起始位置，则钟表的分针是顺时针旋转，故所形成的角为负角，正确；
选项C中，角为第一象限角，例如，则不是第一象限角，故错误；
选项D中，扇形的圆心角为30°，即，半径为，故扇形面积为，故错误.
故选：CD.
知识要点
1.半径长，rad
2.，
3，
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