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二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标：
1．会由两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角公式，并了解它们之间的内在联系；
2．能利用二倍角的正弦、余弦、正切公式求值化简，培养学生数学运算等核心素养．
知识要点：
1．二倍角的正弦公式
（1）；
（2）对于四个代数式，常用“知一求三”来处理．
2．二倍角的余弦公式
（1）
（2）；．
3．二倍角的正切公式
（1）
典型例题：
题组一利用二倍角公式化简求值
例1．已知，求的值．
变式：已知，求的值．
题组二利用降幂公式化简求值
例3．求证：．
变式：化简：．
题组三辅助角公式及其应用
例3．已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最大值及相应的值．
变式：已知函数．
（Ⅰ）若，且，求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间．
当堂检测：
1. 已知点M是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求的值，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据二倍角的余弦公式即可求解的值．
【详解】因为点M是直线与单位圆在第一象限内的交点，设，
所以，且，
由于，解得，
所以．
故选：B．
2. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正余弦的二倍角公式化简，再结合正切函数的周期性求出周期．
【详解】，所以最小正周期为．
故选：B．
3. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的平方关系计算出和的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值；
（2）利用二倍角公式计算出和的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.
【详解】（1），，
，，
因此，；
（2），
，
因此，.
【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求值，同时也涉及了二倍角的正弦公式和余弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
4. 设函数．
（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求不等式的解集．
【答案】（1）最小正周期为；递减区间为：；（2）．
【解析】
【分析】（1）化函数为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间；
（2）根据时求得的最大值和最小值，由此求得的值，再求不等式的解集．
【详解】（1）
，
∴，
令，
∴，
∴函数的递减区间为：．
（2）由得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴不等式的解集为．
【点睛】方法点睛：三角函数的一般性质研究：1.周期性：根据公式可求得；2.单调性：令，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间.
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二倍角的正弦、余弦、正切公式
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若，则（ ）
A. B. C. -3 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】结合二倍角公式以及同角的平方关系化简得到，进而结合同角的商数关系得到关于的式子即可求出结果.
【详解】因为，
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件结合诱导公式知，而，即可求值.
【详解】∵，
∴，而，
∴，
故选：C
3. 在中，已知，那么一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，所以展开得
，可得，结合的范围，即可求解.
【详解】，
所以，即，
因为，，所以，
所以，
所以，所以，
所以是等腰三角形，
故选：B
4. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值，即可得出合适的选项.
【详解】因为是顶角为的等腰三角形，所以，，
则，，
而，所以，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.
5. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题设条件，结合正切的倍角公式，即可求解；
（2）根据题设条件，求得，结合，即可求解.
【详解】（1）因为，可得．
（2）因为为锐角，可得．
又因为，所以，可得，
则．
能力提升
6. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.
【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位，
∴关于轴对称，
∴，即，
故当时，；当时，；
故选：BD
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知，点B的纵坐标是．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积求解出的值，再根据三角函数的定义求解出的值，最后根据两角差的余弦公式求解出的值；
（2）根据二倍角公式求解出的值，然后根据两角差的正弦公式求解出的值，结合角的范围求解出的值.
【详解】解：（1）由题意，．
，为锐角，
，．
又点B的纵坐标是且为钝角，
，．
．
（2），
，
，，．
又，
故．
8. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间；
（Ⅲ）若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.
【详解】解：（Ⅰ）
，
；
（Ⅱ）法一：
令；则.
，的单调增区间为.
，解得.
函数在上的单调递增区间.
法二：
，
，
画数轴与所有区间取交集可知：.
函数在上的单调递增区间；
（Ⅲ）是函数的一个零点
.
解得：.
.
，，当单调递减区间为.
，解得
在区间上为减函数.
函数在上的单调递增区间，单调递减区间
，，.
函数在上的值域为.
【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx的形式．
挑战创新
9. 在①在上具有单调性，且，②的图象可以由的图象横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到，③都有，为最小正整数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，______，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，已知，，分别为的三个内角，，对应的边长，的最大值是，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择见解析；．
【解析】
【分析】先化简，若选①，利用函数的单调性及对称轴的性质即可求解的解析式，得出，再由三角和角公式及辅助角公式即可求解；若选②，利用已知条件可求解解析式，得出，再由三角和角公式及辅助角公式即可求解；若选③，利用已知条件可求解解析式，得出，再由三角和角公式及辅助角公式即可求解．
【详解】
．
若选①，
∵在上具有单调性，∴，∴最小正周期．
∴，∴的一个对称点为．
∵，∴且的一条对称轴为，
∴，∴，即，∴．
将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，
的最大值是，，
∴．又，即．
∴
∵，，
∴，即，
∴的取值范围为．
若选②，
．
由题意得．
将函数的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度得到的图象，的最大值是，
，
∴．
又，即．
同上有的取值范围为．
若选③，
都有，
∴，，
解得，．
∵为最小正整数，∴，
∴．
将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，
的最大值是，
，
∴．
又，即．
同上有的取值范围为．
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二倍角的正弦、余弦、正切公式
【知识要点】
1. 二倍角正弦公式
（1）；
（2）对于四个代数式，常用“知一求三”来处理.
2. 二倍角的余弦公式
（1）
（2）；.
3. 二倍角正切公式
（1）
【公式概念应用】
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先由角知，再利用同角三角函数平方关系求，二倍角余弦公式以及诱导公式求即可.
【详解】，
，
又，
.
.
故选：D.
2. tan（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】结合同角平方关系及二倍角公式和同角商的关系，分别对四个选项进行化简判断即可.
【详解】因为tan，故A 正确；
，故B错误；
∵sin2α＝1﹣cos2α
∴tan，故C正确，D错误；
故选：AC.
3. ______．
【答案】
【解析】
【详解】
,
,故答案为.
考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.
4. 已知，且是第二象限角.
(Ⅰ)求及的值；
(Ⅱ)求的值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】(Ⅰ)根据题意以及同角三角函数关系可求得，，再利用二倍角公式即可求出结果；
(Ⅱ)根据(1)中的结果利用两角差的正弦公式及余弦的二倍角公式，即可求出结果.
【详解】解：(Ⅰ)已知，且是第二象限角，
所以，，
所以，.
(Ⅱ)因为
.
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