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集合的概念与表示
学习目标：
1. 掌握应用题的解题步骤，会合理的建模、解模，能规范地解决数学应用问题．
知识要点：
1.解决函数应用题的基本步骤：
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量以及变量之间的关系， 时可利用图示法、列表法来帮助理解题意.
（2）设：设出未知数，包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数.
（3）列：一般根据题意列出函数关系式，表示各变量的关系，注意自变量的关系.
（4）解：根据题意讨论函数的性质、函数对应的方程、不等式等.
（5）验：检验（4）中的解是否符合实际问题.
（6）答：写出答案.
典型例题：
题组一 一次函数或二次函数的应用
1. 如图是边长为100米的正方形场地，其中米，米，区域被占用，现在五边形区域内规划一个矩形区域，使点P，M，N分别在线段上．
（1）设米，米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（2）求矩形面积的最大值，并确定点P的位置．
【答案】（1），定义域为；（2）8000平方米；点P在点D的位置.
【解析】
【分析】
（1）由，写出对应比例关系可得函数关系，结合图形可得定义域；
（2）由代入（1）所得关系式，可得面积二次函数，再研究二次函数的最值即可.
【详解】作，交于点Q，所以米，米．
又，所以，．
所以，
函数定义域为．
（2）设矩形的面积为平方米，
则，
由二次函数得性质知，且其图象开口向下，对称轴为，
所以当时，单调递减．
所以当米时，矩形的面积取得最大值，其最大值为平方米．
此时米，米，即点P在点D的位置时矩形的面积最大．
答: 点P在点D的位置时，矩形的面积最大为8000平方米.
题组二 与幂函数有关的应用
2. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.
【答案】（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为， ，（2）9千万元
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式，
（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解
【详解】解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，
对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以
，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 ，
（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用
，
所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元
题组三 分段函数的应用
3. 某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天的销售价格（元/百斤），第x天的销售量（百斤）（a为常数），且第7天销售该商品的销售收入为2009元．
（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少？
（2）这20天中，哪一天的销售收入最大？为多少？
【答案】（1）第10天的销售收入元（2）第2天该商品的销售收入最大, 最大为元
【解析】
【分析】（1）根据第7天的销售收入求得a，再代入销售量q中求第10天的销售收入；
（2）由（1）求出的a值，分和两个范围分别求出销售收入关于第x天的函数，再分别求出其函数的最大值，再比较每一段间最大值的大小，得解.
【详解】（1）由已知得第7天的销售价格，销售量．第7天的销售收入（元）．
所以销售量，
所以：第10天的销售收入（元），
（2）设第x天的销售收入为，则
当时，
当时取最大值，
当时，，当时取最大值．
由于，第2天该商品的销售收入最大
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，运用二次函数时注意自变量的分段取值范围，属于基础题.
当堂检测：
4. 某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为(万元)，一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为（ ）
A. 139万元 B. 149万元 C. 159万元 D. 169万元
【答案】C
【解析】
【分析】，然后利用二次函数的知识可得答案.
【详解】利润
故最大利润为159万元
故选：C
5. 为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过千瓦时但不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时.若某户居民月份交纳的电费为元，则此户居民月份的用电量为___________千瓦时.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，写出电费与用电量的函数关系式，根据函数值即可求解.
【详解】设用电量为千瓦时，电费元，
，
若时。
当时，则，解得，不满足题意；
当时，则，
解得，不满足题意；
当时，则，解得，满足题意.
故答案为：
6. 某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是___.
【答案】200
【解析】
【分析】根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论．
【详解】解：由题意，
时，，
时，；
时，，
天时，总利润最大为10000元
故答案为：200．
【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．
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函数的应用
【知识要点】
1.解决函数应用题基本步骤：
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确题目中已知量，未知量以及变量之间的关系，时可利用图示法 列表法来帮助理解题意.
（2）设：设出未知数，包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数.
（3）列：一般根据题意列出函数关系式，表示各变量的关系，注意自变量的关系.
（4）解：根据题意讨论函数的性质 函数对应的方程 不等式等.
（5）验：检验（4）中的解是否符合实际问题.
（6）答：写出答案.
【公式概念应用】
1. 已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令解不等式可得答案.
【详解】根据题意可得，解得，
则炮弹飞行高度高于的时间长为（s）.
故选：A.
2. 下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】认真观察图形就可以判断.
【详解】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
故选：C.
3. 某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3(含3)，3到10(含10)每走1加价1.5元，10后每走1加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20，他应交费________元.
【答案】26.5
【解析】
【分析】根据题意求出收费钱数y关于行车路程x的解析式，即可求解.
【详解】设x为行车路程，y为收费钱数，则，
∴当x=20时，.
故答案为：26.5.
4. 某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．
（1）试用销售单价表示利润；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
【解析】
【分析】（1）由利润销售总收入总成本可得答案；
（2）对于配方法即可求得最大值．
【详解】（1）
.
（2），
∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
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