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两角和、差的余弦、正弦和正切公式（2）
学习目标：
1.经历利用变换的思想推导两角和差的正弦与正切公式的过程；
2.通过公式的推导，提升学生逻辑推理的核心素养，借助公式的变形、正用、逆用，培养学生数学运算的狠心素养；
知识要点：
1．两角和差的正弦公式
（1）_____________；（2）_____________.
2．两角和差的正切公式
（1）_____________；（2）_____________
典型例题：
题组一 已知两角的正弦余弦，求两角和、差的正弦、正切
例1
1. 已知,且都是第二象限的角,求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据同角三角函数的基本关系式求得的值，再根据两角和的正弦公式，求得的值.
【详解】,为第二象限角,.
,为第二象限角,,
.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.
变式：
2. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值，并求出的值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数同角基本关系和角的范围，即可求出结果；
（2）根据正切的两角和公式，即可求出，然后再根据角的范围和的值，即可求出.
【详解】（1）因为，，所以，
所以；
（2）由，所以；
又，，所以，
又 ，所以.
【点睛】本题主要考查了三角函数的同角基本关系和正切的两角和公式的应用，在解题过程中要注意角的范围，这是解题的关键.
题组二 用两角和、差的正弦正切化简
例2．
3. 化简下列各式
（1）
（2）
【答案】（1） （2）.
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的余弦公式，化简求得表达式的值.
（2）利用两角和的正弦公式，化简所求表达式.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
【点睛】本小题主要考查两角差的余弦公式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.
变式：
4. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两角和的正弦公式化简.
【详解】由
．
题组三 逆用两角和差的正弦正切求值化简
例3.
5. 化简求值
（1）tan 10°tan 20°＋ (tan 10°＋tan 20°).
（2）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
（1）由化简即可求解．
（2）由化简即可求解．
【详解】（1）
（2）
.
变式：
6. 已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A. f（x）在上单调递增 B. f（x）在上单调递减
C. f（x）在单调递增 D. f（x）在单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】把函数化为一个角的三角函数形式，然后由正弦函数的单调性得结论．
【详解】，
由，得.，所以f（x）在单调递增，
由，得.，所以f（x）在不单调，
故选：C.
当堂检测：
7. 化简：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式直接化简即可.
【详解】原式
，
故答案为：.
8. 求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据两角和的正切公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.
【详解】（1）；
（2）.
【点睛】本题考查了两角和的正弦、正切公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.
9. 已知、、是斜三角形的三个内角.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由展开即可证得.
【详解】从而得证.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和及两角和正切的展开，属于基础题.
10. 已知，，且，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】先求题中所给角的范围，再通过正弦和差公式“凑角”，即可.
【详解】，∴.
，∴
.
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两角和差的余弦、正弦和正切公式（2）
【知识要点】
1．两角和差的正弦公式
（1）_____________；（2）_____________.
2．两角和差正切公式
（1）__________；（2）_____________.
【公式概念应用】
1. ____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，结合两角和的正切公式可求得的值.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.
2. 化简：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式直接化简即可.
【详解】原式
，
故答案为：.
3. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为，.求的值；
【答案】
【解析】
【分析】根据已知求出，，再利用差角的正切公式求解.
【详解】解：由题可知，.
由于为锐角，则，，
故，，
则.
【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系和差角的正切，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4. 已知，，且，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】先求题中所给角的范围，再通过正弦和差公式“凑角”，即可.
【详解】，∴.
，∴
.
【知识要点】
1．（1）；（2）.
2．（1）；（2）
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两角和、差的余弦、正弦和正切公式（2）
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合同角三角函数的关系和正切函数的两角和公式求解即可
【详解】解：是第二象限角，，
所以，
所以，
所以，即，
解得，
故选：D
2. 在中，已知，，则C的大小为（ ）
A. 90° B. 45° C. 135° D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和正切公式及三角形内角和定理可得结果.
【详解】∵，，
∴，
∴，
又，
∴.
故选：C.
3. 对任意的锐角，下列不等关系中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ACD，举反例判断C．
【详解】都是锐角，则，
，A错；
，B错；
时，，，
（其中），，C错；
，D正确．
故选：ABC．
4. 的值是___________.
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用两角差的正切公式即可求出答案.
【详解】解：.
故答案为：1.
5. 已知，，且，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】先求题中所给角的范围，再通过正弦和差公式“凑角”，即可.
【详解】，∴.
，∴
.
能力提升
6. 一般地，存在一个n次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式．如由，知可以表示为的二次多项式对于，通过运算，我们可以得到，从而得到的切比雪夫多项式．根据已知结论计算的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合诱导公式得到，利用题目中的已知条件得到，化简整理得到，解方程即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
故，
因为，
解得，
故选：B.
7. 已知函数f(x)=sin 2x－cos 2x－.
（1）求f(x)的最小正周期和最大值；
（2）讨论f(x)在上的单调性.
【答案】（1），最大值为；（2）f(x)在上单调递增；在 上单调递减.
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式可得f(x)=，可得最小正周期和最值；
（2）根据x∈时，求出整体范围，根据的单调性即可得解.
【详解】(1)f(x)=sin 2x－cos 2x－＝ ，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，，
从而当，即时，f(x)单调递增，
当，即时，f(x)单调递减.
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.
8. 求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接根据差角的正弦公式与同角三角函数的商关系证明即可；
（2）由（1）得，由此可证．
【详解】证明：（1）；
（2）由（1）得，
∴，
∴．
挑战创新
9. 如图，某人身高，他站的地点和云南大理文笔塔塔底在同水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角：塔尖MN的视角（是塔尖底，在线段上）.
（1）求塔高；
（2）此人在线段上离点多远时，他直立看塔尖的视角最大？说明理由.
参考数据： ，，.
【答案】（1）；（2），理由见解析.
【解析】
【分析】（1）在中利用正弦定理求出，再由、计算可得；
（2）由（1）求出，设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点，则，，由利用两角差的正切公式及基本不等式计算可得；
【详解】解：（1），，
.
在中，由正弦定理得，，
又，
.
，
所以，.
（2）由（1）知，.
.
，
.
设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点，
则，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，他站在线段上到点的距离为为处时，看塔尖的视角最大.
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