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三角函数的应用
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数（）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为，12月份的平均气温最低，为，则该市8月份的平均气温为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件列方程可求得和的值，可得函数解析式，将代入即可求解.
【详解】由题意可得：
即，解得：，
所以，
所以该市8月份的平均气温为，
故选：A.
2. 在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由低潮时和高潮时的水深，列方程组可得的值，利用相邻两次高潮时间得出周期，求得，再由，求出，可得函数的解析式．
【详解】依题意，，解得，
又，
．
又（3），
，
．
，
．
故选：A
3. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为，当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A. y=sin B. y=sin
C. y=sin D. y=sin
【答案】C
【解析】
【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而结合待定系数法可求函数的解析式，注意秒针是顺时针走动．
【详解】解：由题意，函数的周期为，
设函数解析式为（因为秒针是顺时针走动），
初始位置为，，
时，，
，
可取，
函数解析式为
故选：C．
4. 在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos．
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（ ）
A. s1＞s2 B. s1＜s2
C. s1＝s2 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
将t＝代入求值，可得s1＝s2
【详解】当t＝时，s1＝5sin－5，s2＝5cos－5，∴s1＝s2
故选：C
5. 某地一天用电量y(单位：万度)随时间（单位：时）的变化曲线近似满足函数（），其部分图象如图所示．
（1）写出这段曲线的函数解析式；
（2）请问在该天的哪段时间该地用电量不超过35万度？
【答案】（1）；（2）该天的6~10时和18~22时该地用电量不超过35万度．
【解析】
【分析】（1）利用函数的图象，求解，，，，推出函数的解析式即可．
（2）利用函数的解析式，列出不等式转化求解即可．
【详解】解（1）由图知，所以，
又由图象可得半周期为6，，故，
又当时，，，．
又
故．
（2）由，得
所以，，
或
或
因此，该天的6~10时和18~22时该地用电量不超过35万度
能力提升
6. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140和60～90.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.记某人的血压满足函数式，其中为血压（），t为时间（），其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 收缩压为120
C. 舒张压为70 D. 每分钟心跳80次
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由图象的周期可求出的值，可判断A，分别求最大值、最小值可判断选项B、C，计算频率可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】由图知：，所以，可得，故选项A不正确；
所以，
由图知在一个周期内最大值为，最小值为，所以收缩压为120，舒张压为70，故选项B、C正确；
每分钟心跳数为频率，故选项D正确，
故选：BCD.
7. 如图，A、B是单位圆上的两个质点，B为的初始坐标是，，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作轴于，过点B作轴于．
（1）求经过1秒后，的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记点与，间的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）只要先求，运动所形成的角即可求解；
（2）根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角速度和时间求出其中一点到达的位置，再根据三角函数的定义此点的坐标，利用弧长公式可求；
（3）由题意可得，，利用辅助角公式及正弦函数的性质可求.
【详解】解（1）经过1秒后运动的角度为1，运动的角度为，
，
（2）设、第一次相遇时所用的时间是，
则．
（秒，即第一次相遇的时间为秒；
（3）由题意可得，，
.
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工且，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了简车的工作原理.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m.简车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒Р到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为.
（1）求，，，的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点；
（3）在筒车运行的过程中，求相邻两个盛水筒距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出高度差的最大值.
【答案】（1），，；（2）；（3）h，，最大值为.
【解析】
【分析】（1）直接由题意求出，，，的值；
（2）求出函数解析式，由函数最大值为，可得，即，取得答案；
（3）设两个相邻的盛水筒分别用和表示（不妨设领先于，则，分别求出经过相邻两个盛水筒距离水面的高度，作差后利用三角函数求最值．
【详解】解：（1）由题知，得，
由题意得，，.
（2）由，得，
所以，即，
当时，盛水筒出水后第一次到达最高点，此时.
（3）设两个相邻的盛水筒分别用A和B表示（A领先于B），则经过相邻两个盛水筒距离水面的高度分别和，
所以，，
所以的最大值为.
挑战创新
9. 埃及塞得港是苏伊士运河北段的港口，其水深度（米）时间（，单位：时）的函数，记作，下面是水深与时间的数据：
（时） 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 12.0 15.0 18.1 14.9 12.0 15.0 18.0 15.0
经长期观察，的曲线可近似地看出函数（其中，，的图象.
（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；
（2）一般情况下，轮船航行时港口船底离海底的距离为3米或3米以上时认为是安全的（船舶停靠时，近似认为海底是平面），停泊时船底只要不碰触海底即可.3月29日21万吨排水量的“长赐号”集装箱船计划靠港，其最大吃水深度（船舶吃水一般指船舶浸在水里的深度，是船舶的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）.
【答案】（1）；（2）18小时.
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，找到最低点，最高点，中间位置的近似值取整，得到振幅A,平衡位置B,及周期T,由周期求得角速度ω，取一个最值点求得φ的值，得到函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，利用三角函数的图象和性质，解三角不等式，并结合题意得到所求.
【详解】（1）根据表格可得出：， ，.由可知；当时函数取最大值，即，，可得，又因为，得到，函数的近似表达式为.
（2）由题意得航行时，即.
因为，所以.
通过正弦函数图象可知，当，
即时，.
由于停泊时的要求恒成立，
“长赐号”集装箱船如果该船希望在同一天内安全进出港，
它至多能在港内停留小时.
【点睛】本题考查考查三角函数的综合应用，观察表中数据，总结规律，得到近似的函数解析式是基础，正确理解停泊与航行的条件是正确求解答案的关键.
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三角函数的应用
学习目标：
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；
2.会用三角函数模型解决简单的实际问题，培养学生数学建模、逻辑推理等学科素养.
知识要点：
1.基本概念
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数表示，其中.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
就是这个简谐运动的_____，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离﹔
这个简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
称为____；时的相位称为____．
2.基本方法
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的_____、观察_____，然后进行函数拟合获得具体的_____，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
典型例题：
题组一 三角函数在物理中的应用
例1
1. 已知弹簧上挂着小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移（cm）随时间（s）的变化规律为，．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
（1）小球在开始振动时的位移是多少？
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
【答案】（1）cm；（2）最高点和最低点的位移分别是4cm和cm；（3）(s)
【解析】
【分析】先利用列表描点画出函数的图像（1）将代入求解（2）由图像直接解得（3）由周期可得
【详解】列表如下：
0
0 1 0 -1 0
0 4 0 -4 0
描点、连线，图象如图所示：
（1）将代入，得，所以小球开始振动时的位移是cm．
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和cm，
（3）因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是( s)．
变式：
2. 下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：
（1）写出这个简谐运动的振幅 周期与频率
（2）从点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从点算起呢？
（3）写出这个简谐运动的函数表达式.
【答案】(1)振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；
(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；
(3).
【解析】
【分析】(1)从图像中可以直接得到振幅、计算周期和频率；
(2) 从图像中可以看出；
(3)设这个简诺动的函数解析式为从图像得到，即可得到解析式.
【详解】(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm，周期为0.8s,频率为；
(2)如果从O点算起，到曲线上D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完成了一次往复运动；
(3)设这个简谐运动的函数解析式为由图像可知：，又由，得：.
所以所求简谐运动的函数解析式为.
题组二 三角函数在自然现象中的应用
例2.
3. 为应对“新八国联军”在南海的挑衅，海军某部在一海滨区域进行实战演练，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时刻而周期性变化，为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0
（1）从函数和函数中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；
（2）如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段（一般认为早上七点到晚上七点之间为白天）.
【答案】（1）选模型，；（2）白天11时~19时.
【解析】
【分析】（1）作出y关于t的变化的图象，可知选择函数模型较为合适，并确定、，，进而求、，即可写出解析式.
（2）由（1）所得解析式有成立，结合正弦函数的性质求解集，即可知白天内恰当的训练时间段.
【详解】（1）有表格数据可得y关于t的变化的图象，如下：
由图知：，，，则，
∴
由时，，得，，
∴，，又，即，
∴.
（2）由，得，
∴，，得，，
∴或或，故在白天11时~19时进行训练较为恰当.
变式：
4. 春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数(，，)，且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃，从2时到14时为半个周期.
（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；
（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？
注：一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).
【答案】（1）；（2）每天的6时或22时的气温为.
【解析】
【分析】（1）根据题中的函数最大值和最小值建立关于A，b的方程求解参数A和b，再根据从2时到14时为半个周期求解出函数的周期，进而求解出，最后代入一组x， y的值求解出函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式求解函数值为0时的自变量的值即可得出答案.
【详解】（1）依题意，， 解得
根据题意，
又时，
且，解得，
所以；
（2）由得，
所以或
由，解得或，即在每天的6时或22时的气温为.
题组三 三角函数在生物中应用
例3.
5. 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
（1）求函数p(t)的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数p(t)的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数．
【答案】（1）min；（2）80(次)；（3）作图见解析；（4）90mmHg．
【解析】
【分析】（1）由已知可求ω＝160π，利用正弦函数的周期公式即可求解；
（2）函数的频率f＝即可求解；
（3）根据函数解析式利用五点作图法即可画出函数的草图；
（4）由題意根据函数的图象即可得解.
【详解】[解]（1）由于ω＝160π，代入周期公式，可得 (min)，所以函数p(t)的周期为min．
（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
（3）列表：
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg．
变式：
6. 某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【解析】
【分析】（1）首先求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得到函数解析式；
（2）依题意令，再根据正弦函数的性质解不等式，即可得解；
【详解】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以
解得
因为
所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
题组四 三角函数在生活中的应用
例4.
7. 南昌之星摩天轮位于江西省南昌市赣江边上的市民公园，是世界上第三高 国内第一高的摩天轮，是南昌市地标建筑之一.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.
（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？
（2）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.
【答案】（1）37.5米；（2）10分钟.
【解析】
【分析】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，由题意可求周期，进而可求函数解析式，代入，即可求解．
（2）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，应满足，化简得，可求范围，解得的范围，即可得解．
【详解】解：（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，
设函数解析式为，
摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以，
由题意可得，，
所以，解得，
当时，，即，可取，
所以，
当时，，
所以游客分钟后距离地面的高度是37.5米，
（2）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，
应满足，
化简得，
因为，所以
所以，解得，
所以摩天轮旋转一周能有10分钟最佳视觉效果．
变式：
8. 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、．
（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？
【答案】（1），，，，
（2），（3）天.
【解析】
【分析】（1）由已知图中两点的坐标求得与，进而可得的值，再由五点法作图的第三个点求解，即可得函数的解析式，并求得的范围；
（2）由对称性求解段的函数表达式，以及x的取值范围；
（3）由解得：，减去即得答案.
【详解】（1）由图以及两点的纵坐标可知：，，可得：，
则，
由解得：，
所以，，
所以段的函数表达式为，
（2）由题意结合对称性可知：段的函数解析式为：
，
（3）由解得：，
所以买入天后，股票至少是买入价的两倍.
当堂检测：
9. 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到与近似满足.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（ ）（精确到1）参考数据
A. 290 B. 291 C. 292 D. 293
【答案】B
【解析】
【分析】设闰年个数为，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式，求解即可.
【详解】解：，
所以一个回归年对应的天数为天
假设1200年中，设定闰年的个数为，则平年有个，
所以
解得：.
故选：B.
10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时，函数单调递增.
C. 当时，函数最小值为.
D. 当9时，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数模型中各参数的意义求函数的解析式，再分别代入选项，判断函数的单调性，以及函数值.
【详解】由题，，，，故，
又当时，，且，，
所以，故A错误：
当时，，所以函数在是单调递增的，故B正确：
当时，，所以函数在是单减的，故最小值为，故C错误：
当时，，的横坐标为，又，此时点，为水车直径，故，故D正确．
故选：BD
【点睛】本题主要考查了的实际运用，需要理解各参数的实际意义，结合题意求出解析式，再求解有关性质，属于中档题
11. 已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【答案】（1），，；（2）上午10：00至下午3：00.
【解析】
【分析】（1）由题意可得可知，，，即可求得；
（2）先阅读题意，然后解三角不等式求解即可.
【详解】解：（1）由表中数据知，所以.
由，，得.由，，得.故，，
所以函数解析式为：.
（2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以，
所以，所以，，
即，.
又因为，故可令
得或或.
所以在规定时间10：00至20：00之间，
有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00.
12. 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示.设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒.水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）.当点P在水面上时高度记为正值，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值.过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开始计时，设，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为.
（1）求h与t的函数解析式；
（2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求此时的大小；
（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式.
（参考数据：，，
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设出解析式，根据题目信息逐一求出变量即可
（2）水面上涨后，相当于O点到水面的距离减少，利用三角函数定义求解即可
（3）转速变快即周期变小，从新计算解析式中的周期即可
【小问1详解】
由题意设，
则，，则，
由题意，是锐角，所以，
，，，
所以.
【小问2详解】
河水上涨0.3米，在中，，
所以.
【小问3详解】
水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，
即，，
所以.
知识要点：
1.振幅，，，相位，初相．
2.散点图，散点图，函数模型.
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三角函数的应用
【知识要点】
1.基本概念
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数表示，其中.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
就是这个简谐运动_____，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离﹔
这个简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;
这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
称为____；时的相位称为____．
2基本方法
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的_____、观察_____，然后进行函数拟合获得具体的_____，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
【公式概念应用】
1. 如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始（图中点）开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 不论为何值，是定值
【答案】BD
【解析】
【分析】设，利用题中信息求出函数的解析式，代值计算可判断AB选项的正误，解正弦不等式可判断C选项的正误，利用两角和的正弦公式可判断D选项的正误.
【详解】设，则，，则，
由题意可知，可得，
，可得，
由图可知，函数在附近单调递增，可得，
所以，.
对于A选项，，A错；
对于B选项，，，，B对；
对于C选项，由，可得，
所以，，解得，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：BD.
2. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动______次.
【答案】
【解析】
【分析】求正弦型函数的频率.
【详解】函数，的周期，故频率为.
所以每秒钟小球能振动次.
故答案为：.
3. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为，那么单摆来回摆一次所需的时间为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用周期公式：即可求解.
【详解】由，
单摆来回摆一次为一个周期，
由.
故答案为：
4. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.
（1）求的值；
（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.
【答案】（1）；（2）这段时间水深的最大值是.
【解析】
【分析】（1）由图可知，，而，从而可求出的值；
（2）由函数关系式可求出其最大值即可
【详解】（1）图知：，因为，
所以，解得：.
（2）.
所以，这段时间水深的最大值是.
【点睛】此题考查三角函数图像和性质的应用，属于基础题
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