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函数
学习目标：
1.了解圆周运动模型，会用三角函数刻画圆周运动；
2.理解集合的三种表示方法，能正确表示集合.
知识要点：
1.圆周运动
如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的甲为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是______________.
2.参数对图象的影响.
（1）一般地，函数图象，可通过把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移_____个单位长度，就得到函数的图象.
（2）一般地，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的____倍（纵坐标不变），就得到的图象.
（3）一般地，把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的_____倍（横坐标不变）而得到.从而函数的值域是______，最大值是___，最小值是___.
3.函数图象
一般地，函数的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数______的图象﹔再把正弦曲线向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象﹔然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数_______的图象﹔最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象.
典型例题：
题组一 描述正弦型 余弦型函数图象变换过程
例1.
1. 已知函数，说明此函数是由如何变换而来的.
【答案】向左平移个单位
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，然后根据左右平移变换即可求出结果.
【详解】因为，
根据三角函数的图象变换，将函数向左平移个单位，即可得到的图象.
变式：
2. 设函数，说明的图象可由的图象经过怎样的变换得到.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】结合二倍角公式与辅助角公式化简得，再由平移以及伸缩变换即可求解
【详解】
要得到图象，可将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，
纵坐标扩大为原来的倍，再将得到的图象向左平移个单位长度.（答案不唯一）
题组二 求变换前后的解析式
例2
3. 为了得到函数，的图象，只要把函数，图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式可得，再由三角函数的平移变换原则即可求解.
【详解】解：，
，
为了得到函数，的图象，
只要把函数，图象上所有的点向左平移个单位长度．
故选：C．
4. 将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知平移后的解析式为，而，由于两函数图像重合，所以，从而可求出的值
【详解】解析：由题可知，，
而，
所以，
从而，取，知，
故选：.
题组三 结合三角函数图象的变化研究函数的性质
例3.
5. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图像，讨论在上的单调性．
【答案】（1）；（2）单调递减区间，，单调增区间.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数奇偶性即可求出的值；
（2）根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合函数的单调性进行求解即可．
【详解】（1）∵函数是偶函数，
∴，，
又，
∴；
（2）由（2）知，
将的图象向右平移个单位后，得到，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），
得到，
当，，
即，时，的单调递减，
当，，
即，时，的单调递增，
因此在，的单调递减区间，，
单调增区间.
变式：
6. 已知函数，的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数为奇函数.
（1）求的解析式及对称轴；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），对称轴为，；（2）.
【解析】
【分析】（1）由两相邻对称轴之间的距离是，可求出周期为，从而可求出的值，由三角函数图像变换规律求出，由其为奇函数可求出的值，从而可得的解析式，再由可求出对称轴方程，
（2）由求出，利用换元法令，则原问题可转化为在上恒成立，构造函数，然后分，和求出函数的最小值，使其大于等于零，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由已知，周期，所以，，
因为为奇函数，所以，，即，，
又，所以，所以.
由令，，得，，
所以的对称轴为，.
（2）当时，，所以，
令，则原问题可转化为在上恒成立，
令，
当，在上单调递增，所以，
解得或，所以；
当时，在上单调递减，上单调递增，所以，此时无解；
当时，在上单调递减，所以，
解得或，所以，
综上，实数的取值范围为.
题组四 由图象求解析式
例4.
7. 已知函数（其中A，，，B均为常数，，，）的部分图象如图所示，求函数的解析式及其递增区间.
【答案】，递增区间为：.
【解析】
【分析】结合函数图象求出函数的解析式，进而结合函数的图象与性质即可求出其递增区间.
【详解】（1）由图可知：
，，，
所以，所以，所以.
由，得，，
所以，，
因为，所以.所以.
因为，所以，即
递增区间为：.
变式：
8. 已知函数的部分图象，如图所示，求函数的解析式；
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像的最值计算求出函数周期，根据计算，再将、的数值及点代入中计算，从而得到完整的的解析式；
【详解】
解：（1）由函数的部分图象可知：，，因为，所以，所以，把点代入得：，即，.又因为，所以，所以；
故答案为：
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函数
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 由函数的图象得到函数的图象的变换方法可以是 （ ）
A. 将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍
B. 将的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍
C. 将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度
D. 将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的图象变换求解.
【详解】若先作平移变换，则需用去取代，因此A和B选项均不正确.
若先作伸缩变换，将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
所得图象对应的函数为.
再用取代，即可得到函数的图象，
也即再向右平移个单位长度，
故选：C
2. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果.
【详解】因为，
而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，
故选：A.
3. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，且直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由相邻对称轴得函数周期，从而可得，再利用的对称轴求得，得解析式．
【详解】解析：由题意可知，，
由和是函数图象的两条相邻的对称轴，得，解得，
于是，解得，
所以.
由题意，得，，解得，，结合，得.
故.
故选：C．
4. 已知函数，则（ ）
A. 是周期为的周期函数
B. 的值域是
C. 在上单调递增
D. 将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图像
【答案】AD
【解析】
【分析】先结合诱导公式与二倍角公式化简，然后结合函数的图象与性质逐项分析即可判断.
【详解】
，所以是周期为的周期函数，故A正确；因为，所以，故B错误；因为在上单调递减，所以，即，当时，，所以在上单调递减，故C错误；将的图像向左平移个单位长度后，得为奇函数，故D正确；
故选：AD.
5. 已知函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=g（x）的图像是由函数y=f（x）的图像向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，求函数y=g（x）的单调递增区间.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，再由周期公式求解；
（2）利用三角函数的平移变换得到，再利用三角函数的性质求解.
【详解】（1），
，
，
.
所以函数f（x）的最小正周期是.
（2）由题意得：，
令，
解得，
所以函数y=g（x）的单调递增区间是.
能力提升
6. 已知函数，若将的图像右移，其相位减少了，且为奇函数，则图像的周期是_______﹔其对称中心的坐标为_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据可得，根据为奇函数，可得，根据周期公式可得周期，根据正弦函数的对称中心可得的对称中心.
【详解】依题意可知，解得，
此时，为奇函数，所以，，
又，所以，，
所以，
所以周期，
由，，得，，
所以其对称中心的坐标为.
故答案：；.
【点睛】本题考查了函数图象的平移变换，考查了根据函数的奇偶性求参数，考查了求正弦型函数的周期和对称中心，属于中档题.
7. 函数的一段图象如下图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求的最大值，并求此时自变量x的集合．
（3）求在的值域.
【答案】（1）；（2）；；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据图象先求，再根据周期求，最后找点带入求；
（2）根据图象的平移变化求出函数的解析式，从而求最大值及的取值集合；
（3）由得出，从而求出函数的值域.
【详解】（1）由函数的图象可知：，，又因为，所以，
所以，
又因为点在函数的图象上，所以，
因为，所以，
所以.
（2）由题意知，
所以的最大值为，此时，即，
即的最大值为，此时的取值集合为.
（3）因为，所以，
所以当时，即时，取最大值为；
当时，即时，取最小值为，
所以在的值域为.
8. 已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为π.
（1）若，求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】运用辅助角公式化简，结合函数的奇偶性和相邻对称轴的距离求解出的解析式
（1）依据题给条件化简计算即可得出答案.
（2）根据三角函数的图形变换规则求解出的解析式，进而求解出单调减区间.
【详解】解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）
=2[sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）]=2sin（ωx+φ﹣），
因为f（x）为偶函数，所以φ﹣+kπ，k∈z，
即φ=+kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ=.
所以f（x）=2sin（ωx+）=2cosωx.
由题意得=2π，所以ω=1，故f（x）=2cosx，
（1）
由得:
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到y=2cos（x﹣）的图象.
再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2cos（x﹣）的图象.
所以g（x）=2cos（x﹣）.
令2kπ≤﹣≤2kπ+π（k∈Z），求得 8kπ+≤x≤8kπ+（k∈Z），
所以g（x）的单调递减区间为
挑战创新
9. 已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；
（2）先根据（1）求解出的解析式，然后采用整体替换的方法求解出的对称轴方程，然后对进行赋值，确定出在区间上仅有一条对称轴时的取值范围.
【详解】（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为，所以；
若满足③：因为，所以，所以，
若满足④：，
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知：，
由①知：，所以，所以，
又因为，或，
所以或，
所以，所以，
不妨令，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数，
若求函数图象的对称轴，则令，；
若求函数图象的对称中心或零点，则令，．
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1.圆周运动
如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的甲为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是______________.
2.参数对图象影响.
（1）一般地，函数的图象，可通过把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时)平移_____个单位长度，就得到函数的图象.
（2）一般地，把图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的____倍(纵坐标不变)，就得到的图象.
（3）一般地，把图象上所有点的纵坐标伸长（当时)或缩短（当时)到原来的_____倍（横坐标不变）而得到.从而函数的值域是______，最大值是___，最小值是___.
3函数图象
一般地，函数的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数______的图象﹔再把正弦曲线向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象﹔然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数_______的图象﹔最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数的图象.
【公式概念应用】
1. 函数的图象向左平移个单位后，所得图象的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移关系直接求解即可.
【详解】函数的图象向左平移个单位后可得.
故选：B.
2. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数
C. 是函数的一条对称轴
D. 是函数的一个对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题中所给的函数解析式，利用正弦型函数的性质，确定出函数的周期，得到A项正确，根据平移变换的原则，求得移动之后的函数解析式，确定其不是奇函数，得到B项错误；求得点对应的函数值，确定其为对称中心的坐标，能够判断C项和D项的正误.
【详解】，∴，A正确；
将的图象右移个单位后，
得函数的图像，
不满足，所以不是奇函数，B错误；
因为，所以不是函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，C错误，D正确.
故选：AD.
3. 将函数的图象向左移个单位，得到函数的图象，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得左移后的函数解析式，再与已知比对即可得解.
【详解】函数的图象向左移个单位得：，
依题意，，即，而，则，
所以.
故答案为：
4. 已知函数．
（1）求函数y的最大值及y取最大值时x的集合；
（2）求函数y的单调递减区间；
（3）将函数的图象作怎样的变换可得y＝sinx的图象？
【答案】（1）最大值是1，y取最大值时x的集合是；（2）函数y的单调递减区间；（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据，得到求解；令求解；
（2）令求解；
（3）利用三角函数的平移变换和伸缩变换求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以函数y的最大值为1，此时，
解得，
所以y取最大值时x的集合是；
（2）令，
解得，
所以函数y的单调递减区间；
（3）由y＝sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左平移个单位得到，
再由的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象.
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