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充分条件与必要条件
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若命题，命题且，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的性质及充分、必要条件的定义即可得答案．
【详解】解：由，不能推出且，如，；
反之，由且，根据不等式的性质能推出．
即，但，所以是的充分不必要条件，
故选：A．
2. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用命题间的关系及命题的充分必要性直接判断.
【详解】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，
“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，
其逆否命题为“若则”，反之不成立，
所以命题是命题的必要不充分条件，
故选：B.
3. 已知，，，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，，进而根据充分条件和必要条件定义判断即可.
【详解】因为
而，反之，时，不一定成立，
所以“”是“” 的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分不必要条件，不等式比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，将等价变形为，再结合充分条件和必要条件定义判断.
4. 已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，方程的两个实数根之和为0 B. 方程无实数根的一个必要条件是
C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BCD
【解析】
【分析】方程没有实数根，所以选项A错误；由题得，是的必要条件，所以选项B正确；由题得，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；由题得，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
【详解】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误；
对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确；
对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；
对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.
5. 已知集合，
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）首先求得集合，再求集合的运算；（2）由条件可知 ，讨论和两种情况求实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
，
或，;
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以 ，
当时， ，解得：，
当时，，得，
综上可知：
能力提升
6. 设集合，，，则“”是“”的_______条件．(填：充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要)
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】用集合法判断即可.
【详解】因为集合，，
所以
而
因为 ，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
7. 定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，判断与的条件关系.
【答案】充要.
【解析】
【分析】先画出三个集合的一般ven图，再根据，得到三个集合的区域，然后再利用充要条件的定义判断.
【详解】如图所示：
因为，
故两个阴影部分均为，
所以，
若，则，
，
而，
成立；
反之，若，
则由，，
，
，
，
所以两者之间的条件关系为充要.
8. 已知命题p：实数x满足集合，q：集合
（1）若，求;
（2）若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2），或，或.
【解析】
【分析】（1）代入，解不等式求出集合和可得答案；
（2）讨论、 、时，解不等式求出集合，若q是p的必要不充分条件，利用可得答案.
【详解】（1）若，则，
或，所以.
（2）若q是p的必要不充分条件，则，，
当时，，符合；
当时，，若，
则， 或解得；
当时，，若，
则， 解得；
综上所述，实数a的取值范围为，或，或.
挑战创新
9. 设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.
【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.
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充分条件与必要条件
学习目标：
1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；
2.结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；
3.培养学生的辩证思维能力.
知识要点：
1.命题与推出符号
一般地，命题“若则”为真，记作“___”（或“___”），读作“推出”；
“若则”为假，记作“___”（或“___”），读作“推不出”
2.充分条件与必要条件
（1）一般地，如果，那么称：的________条件， 的________条件.
（2）①如果且，那么称是的__________条件，简称______条件，记作_____
②如果且，那么称是的_________________________条件；
③如果且，那么称是的_________________________条件；
④如果且，那么称是的________________________条件.
3.集合的包含关系与条件关系
如果条件对应的集合为，条件对应的集合为，则
（1）若是的充分不必要条件，则；
（2）若是的必要不充分条件，则；
（3）若是的充分必要条件，则；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则；
典型例题：
题组一 利用定义判断条件关系
例1. （1）“”是“”的__________条件；
（2）“”是“”的________条件；
（3）已知、，则“”是“”的_______条件；
（4）设、，若；.则是的______条件；
（5）若、、是常数，则“且”是“对任意，有”的________条件.
变式：“”的____________________条件是“”；
题组二 利用等价性判定条件关系
例2. “”是“不都为”的________条件.
变式：若或，，则是的___________条件.
题组三 利用集合关系判断条件关系
例3. （1）设，为两个不相等的集合，条件：，条件：，则是的______.
（2）下列不等式：①；②；③；④；⑤.其中可以作
变式： “且”， “且”.则是的______条件.
题组四 条件关系的应用
例4. 设，，，是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值范围.
变式：已知全集为，集合，.
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
题组五 充要条件的探究
例5.求至少有一个负实根的充要条件.
变式：已知，求证：的充要条件是.
当堂检测：
1. 是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立.
【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立.
故选：A
2. 生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力.在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案.
【详解】由“石穿”、“事成”、“胜利”不能推出“水滴”、“有志”、“坚持”,
如“石穿”可能推出“化学腐蚀”;
由“水滴”、“有志”、“坚持”能推出“石穿”、“事成”、“胜利”
如“水滴”可以推出“石穿”;
综上所述, “石穿”、“事成”、“胜利”是“水滴”、“有志”、“坚持”必要不充分条件.
故答案为:必要不充分.
【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能,属于基础题.
3. 在下列命题中，试判断是的什么条件.
（1），，则是______条件；
（2），，则是______条件；
（3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形. 则是______条件.
【答案】 ①. 充要 ②. 充分不必要 ③. 既不充分也不必要
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解:（1）因为“”是真命题，“”也是真命题，
所以是的充要条件；
（2）因为“ ”是真命题，“”是假命题，如，，满足，但是；
所以是的充分不必要条件；
（3）因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，
“四边形是平行四边形四边形的对角线相等”也是假命题，
所以是的既不充分也不必要条件.
故答案为：充要；充分不必要；既不充分也不必要
4. 已知，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
（1）若m＝1，则p是q的什么条件？
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）p是q的必要不充分条件；（2）m∈[9，＋∞)．
【解析】
【分析】（1）分别求出p、q对应的集合，根据集合间的关系即可得出答案；
（2）根据p是q的充分不必要条件，则p对应的集合是q对应的集合的真子集，列出不等式组，解得即可得出答案.
【详解】(1)因为＝{x|－2≤x≤10}，
若m＝1，则q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，
显然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，
所以，
所以，且和不同时取等号，
解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．
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充分条件与必要条件
【知识要点】
1.如果命题“若，则”为真命题，那么是的_____条件，且是的____条件.
2.四种条件关系：
（1）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”为假命题，那么是的___条件.
（2）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”为真命题，那么是的___条件.
（3）如果命题“若，则”为真命题且“若，则”也为真命题，那么是的___条件.
（4）如果命题“若，则”为假命题且“若，则”也为假命题，那么是的___条件.
【公式概念应用】
1. 命题，命题；则p是q的（ ）
A. 充要条件 B. 必要条件 C. 充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个命题的互相推出情况判断出p是q的何种条件.
【详解】因为当时，y可取任意实数，不一定有，所以p不是q的充分条件；
因为，所以，
所以p是q的必要条件.
故选：B.
2. “”是二次函数 经过原点”的（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 既是充分条件也是必要条件
D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】“” ，二次函数一定经过原点；
二次函数经过原点， ， 不一定等于0.
所以，“”是二次函数 经过原点”的充分条件.
故选: A
3. 已知，，则是的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．
【答案】充分条件
【解析】
【分析】根据集合关系判断即可得答案.
【详解】设命题对应的集合为,
命题对应的集合为,
因为,所以命题是命题的充分条件.
故答案为：充分条件.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对的集合与对应集合互不包含．
4. 在如图所示电路图中，闭合开关是灯泡亮的什么条件？
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据电路的串并联关系，依次分析闭合开关和灯泡亮的关系，进而判断两者之间的充分必要性.
【详解】图①，闭合开关或闭合开关，都可以使灯泡亮；反之，若要灯泡亮，不一定非要闭合开关.因此，闭合开关是灯泡亮的充分不必要条件.
图②，闭合开关而不闭合开关，灯泡不亮；反之，若要灯泡亮，开关必须闭合，说明闭合开关是灯泡亮的必要不充分条件.
图③，闭合开关可使灯泡亮；而灯泡亮，开关一定是闭合的.因此，闭合开关是灯泡亮的充要条件.
图④，灯泡亮否与开关的闭合无关，故闭合开关是灯泡亮的既不充分也不必要条件.
5. 设集合，
（1）请写出一个集合，使“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件；
（2）请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件．
【答案】（1）（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据充分必要性判断集合与集合之间的包含关系，从而写出符合题意的集合.
【详解】（1）由于“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合题意.
（2）由于于“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合题意.
【知识要点】
1.充分，必要.
2.四种条件关系：
（1）充分不必要，（2）必要不充分，（3）充分必要，（4）既不充分也不必要.
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