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集合间的基本关系
【知识要点】
1．如果集合的_______都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合______集合，记为______．
2．如果，那么我们称集合和集合相等，记为______．
3．如果，且存在，则称是的真子集，记为_______．
4．在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是______；可记为________．
5．如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为______．
【公式概念应用】
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 或 B. C. D. 或或
【答案】D
【解析】
【分析】利用子集的定义讨论即可.
【详解】因为，集合，，
若，则，符合；
若，则或，经检验均符合.
故选：D.
2. 下列表述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可；
【详解】解：对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故满足，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：C
3. 已知集合，若，则可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合A，再由可得答案
【详解】解：由，得，所以，
因为，观察可知选D.
故选：D
4. 集合的真子集个数是________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合的元素，即可求出真子集个数.
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
满足集合的有，
真子集个数为个.
故答案为：
5. 已知A=，B=，若B A，则实数m的取值范围为___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据子集关系列式可得结果.
【详解】∵A=，B=，B A，
∴m≥2，
∴实数m的取值范围为．
故答案为：．
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集合间的基本关系
学习目标：
1.理解集合之间包含的关系，理解子集、真子集的含义，
2.能从数形两个角度掌握集合间包含关系的判断方法，集合相等的判断方.
3.掌握子集个数的计算方法.
知识要点：
1.子集与真子集
（1）如果集合的____一个元素都是集合中的元素，那么集合称为集合的子集，记为______，读作“包含于”或“包含”.用图可表示为
（2）如果，且_________，则称是的真子集，即为.
（3）不含任何元素的集合称为______，记为，它是任何集合的_______，是任何____的真子集.
2.集合相等
（1）如果，则，
3.子集个数
（1）如果中有个元素，则的所有子集的个数为______，所有非空子集的个数为______，所以非空真子集的个数为________.
典型例题：
题组一 集合关系的判断
例1.（1）已知，则之间的包含关系为_______.
（2）当集合时，___________，___________，___________.
变式：（1）下列表述正确的是（ ）
A. B. C. D.
（2）集合，的关系为_____.
题组二 子集个数的计算
例2.已如集合，则满足的集合的个数是（ ）
A.4 B.6 C.7 D.8
变式：已知集合，、、为非零实数 ，则的子集个数是（ ）
A. B. C. D.
题组三 含参数的子集关系
例3.集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
变式：已知集合，，若，则实数的取值范围是____.
课堂检测：
1. 已知集合，若，则可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合A，再由可得答案
【详解】解：由，得，所以，
因为，观察可知选D.
故选：D
2. 已如集合，则满足的集合的个数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再根据和子集个数的计算公式可得正确的选项．
【详解】，
因为，故有元素，且可能有元素，
故满足的集合的个数为，
故选：D．
3. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按集合M是是空集和不是空集求出a的范围，再求其并集而得解.
【详解】因，而，
所以时，即，则，此时
时，，则，无解，
综上得，即实数的取值范围是.
故选：C
4. 满足的集合的个数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
列举满足条件得到集合得到答案.
【详解】，则满足条件的集合有：、、.
故答案为：3.
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求集合，属于简单题.
5. 设，集合，，且，求实数x，y 的值
【答案】或
【解析】
【分析】根据两个集合相等，则其元素全部相同，可得，从而得出答案.
【详解】由得 : 解得 或
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集合的基本关系
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定集合的元素个数，接着根据公式求出集合的所有子集个数，减掉集合本身得出结果即可.
【详解】因为集合，画出如下示意图：
由图可知集合有9个元素，集合的所以子集的个数为，
所以集合的真子集的个数为，
故选：A.
【点睛】集合有n个元素,则集合的所有子集个数为，集合的所有非空子集个数为，集合的所有真子集个数为，集合的所有非空真子集个数为；
2. 已知集合，，若A=B，则a+2b=（ ）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据进行分类讨论，由此求得进而求得.
【详解】由于，
所以
（1），结合集合元素的互异性可知此方程组无解.
（2）解得.
故选：D
3. 集合A=与集合B=的关系是（ ）
A. A=B B. A B C. B A D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】对于集合A，当k取奇数时，令k＝2n﹣1，α＝2nπ；当k取偶数时，令k＝2n，α＝2kπ，n∈Z，即可看出A，B的关系
【详解】对于集合A，
当k取奇数时，令k＝2n﹣1，α＝2nπ；n∈Z，
当k取偶数时，令k＝2n，α＝2kπ，n∈Z，
∴A＝{α|α＝2kπ±，k∈Z}＝B．
故选：A．
4. 下面关于集合的表示正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
本题首先可根据判断出A错误，然后根据这种情况判断出B错误，再然后根据判断出C正确，最后根据无解判断出D正确.
【详解】A项：因为，所以，故A错误；
B项：若，则，故B错误；
C项：，故C正确；
D项：因为，所以无解，故D正确，
故选：CD.
【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系，只有当两个集合中包含的元素完全相同时两个集合才相等，能否确定集合中包含的元素是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题.
5. 已知集合或，集合，若，求m的取值范围．
【答案】．
【解析】
【分析】根据，由，分，，讨论求解.
【详解】因为，
所以，
当时，，符合题意；
当时，，则，解得；
当时，，则，解得．
综上，．
能力提升
6. 若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
【答案】或.
【解析】
【分析】根据集合的子集个数确定出方程解的情况，由此求解出参数值.
【详解】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案为：或.
7. 已知集合 ，，．
（1）若时，求实数的取值范围；
（2）若是 的子集，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据指数运算以及指数函数，得出，即可得出的取值范围；
（2）因为是 的子集，以及 和 的大小关系不确定，导致集合 可能是空集，故需要分两种情况说明.
【详解】（1）依题意得，，因为，所以；
（2）因为是的子集，
当时，有，解得；
当时，有，解得；
综上所述得或．
8. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的存在，求的值，若不存在，请说明理由.已知集合__________，.若是的真子集，求实数的取值范围.
【答案】当选条件①时；当选条件②③时，不存在a的值满足题意.
【解析】
【分析】分别选择条件①②③，根据真子集的条件列不等式求解即可.
【详解】当选条件①时，因为是的真子集，
所以（等号不可同时取得）， 解得．所以实数a的取值范围是．
当选条件②时，因为是的真子集，
所以解得a＝1．此时A＝B，不符合条件．
故不存在a的值满足题意．
当选条件③时，因为是的真子集，
所以，该不等式组无解，
故不存在a的值满足题意．
综上：当选条件①时；当选条件②③时，不存在a的值满足题意.
挑战创新
9. 已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为．
【解析】
【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.
（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；
（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.
【详解】（1），，，，
假设，，则，且，
∴，则或，显然均无整数解，
∴，
综上，有：，，；
（2）集合，则恒有，
∴，即一切奇数都属于A，又，而
∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）集合，成立，
①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；
②当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数，
综上，所有满足集合A的偶数为．
【点睛】关键点点睛：根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.
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