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集合的概念与表示
【知识要点】
1．一般地，我们把研究对象统称为______．把一些元素组成的总体叫做_______．
2．正整数集用字母____表示，整数集用字母______表示，有理数集用字母______表示，实数集用字母____表示．
3．集合的表示方法用两种，他们分别是________和_______．
4．如果一个集合不含任何元素，则该集合称为_________；如果一个集合有无限个元素，则改集合可称为_____________．
【公式概念应用】
1. 自然数集可以用字母_____表示，有理数集可以用字母______表示．
【答案】 ①. ②. ．
【解析】
【分析】根据常见数集的符号表示即可求解.
【详解】自然数集可以用字母；
有理数集可以用字母.
故答案为：；
2. 如果，则的取值范围是_____________．
【答案】且，
【解析】
【分析】利用集合的互异性即可求解.
【详解】由，则且，
故答案为：且，
3. ，在空格处填入适当的符号：____，____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用元素与集合之间的关系即可得出答案.
【详解】，
所以，.
故答案为：；
4. 如果，则_______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据已知条件可得出、的值，即可得出结果.
【详解】因为，则或，因此，或.
故答案为：或.
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集合的概念与表示
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 给出下列关系，其中正确的个数为（ ）
①；②；③；④
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案.
【详解】对于①：0为自然数，所以，故①正确；
对于②：为无理数，所以，故②错误；
对于③：含有元素0，不是空集，故③错误；
对于④：R为实数集，所以④正确；
故选：C
2. 若，则实数（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.
【详解】因为，根据集合性质可得：.
故选：C
3. 下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A. B.
C. ， D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的表示法一一判断即可；
【详解】解：对于A：集合表示含有点的集合，表示含有点的集合，显然不是同一集合，故A错误；
对于B：集合表示的是直线上的点组成的集合，集合为数集，故B错误；
对于C：集合、均表示含有两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；
对于D：集合表示的是数集，集合为点集，故D错误；
故选：C
4. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.
【详解】因为集合，所以，
故选：D.
5. 设，，已知，，求的值．
【答案】且且且
【解析】
【分析】根据，结合集合元素的互异性求得参数a的取值.
【详解】由知，，即，
解得且
又集合元素具有互异性，知，即
解得且
综上所述，a的取值为且且且
能力提升
6. 设集合，若，，，则运算可能是（ ）
A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法
【答案】AC
【解析】
【分析】先由题意设出，，然后分别计算，，，，即可得解.
【详解】由题意可设，，其中，，，，
则，，所以加法满足条件，A正确；，当时，，所以减法不满足条件，B错误；
，，所以乘法满足条件，C正确；，当时，，所以出发不满足条件，D错误.
故选：AC.
7. 若集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）若，则的两个根分别为，根据韦达定理求得参数值.
（2）若，分和两种情况进行讨论，从而求得参数值.
【详解】（1）若，则的两个根分别为，
由韦达定理可得，故.
（2）若，则或，故.
综上若，则或
8. 已知集合，若中至少有一个元素，求实数的取值集合.
【答案】.
【解析】
【分析】分类讨论集合中恰有一个元素和恰有两个元素的情况，即可得解.
【详解】集合中至少有一个元素，即中只有一个元素，或中有两个元素.
当中有一个元素时，，或即；
当中有两个元素时，由解得，且.
综上，得.
即实数的取值集合为.
挑战创新
9. 已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，故；
（2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案；
（3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可.
【详解】解：（1）因为若，则，，
所以，，，
所以.
（2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合，
则，即：， 由于，故该方程无解，
所以不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为，，则，则，
所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可.
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等.
所以集合中含元素个数一定是个.
【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.
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集合的概念与表示
学习目标：
1.理解集合的概念，能认清常见集合的表示；
2.掌握集合中元素的三个性质－互异性、确定性和无序性；
3.理解集合的三种表示方法，能正确表示集合.
知识要点：
1．集合的概念
（1）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示．从定义看，集合具有____、_____和______．
（2）一般地，如果是集合中的元素，就说属于集合，记为_______，如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记为_______.
（3）自然数集记为_______，正整数集记为________，有理数集记为______，实数集记为_____.
（4）如果两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为______.
2.集合的表示
（1）列举法：把集合的元素一个一个列举出来，放在____中.
（2）描述法
把集合所有元素的性质表示出来，写成，其中称为代表元，表示_______.
3.集合的分类
（1）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记为_______.
（2）有限集与无限集：如果一个集合中有有限个元素，则称该集合为有限集，否则称为无限集.
典型例题：
题组一 集合中元素性质的应用
例1． （1）著名的歌星能不能构成一个集合？请说明理由．
（2）若，求的取值范围．
（3）下列与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
变式：（1）若，求的取值范围．
（2）已知集合，，若，求．
题组二 集合的表示方法
例3．用描述法表示下列集合
（1）所有正偶数组成的集合 ；
（2）被9除余2的数组成的集合 ．
变式：用列举法表示集合_________.
题组三 元素与集合的关系
例3.已知集合，判断是否是集合中的元素，请说明理由．
变式：若， 证明：.
题组四 集合意义的理解与应用
例4：如果为单元素集合，求实数的值
变式：如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围.
当堂检测：
1. 设集合，则下列集合中与集合相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合相等的定义判断选项.
【详解】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是.
故选：C
2. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 已知集合，用列举法表示集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的描述法即可求解.
【详解】,
故答案为：
4. 集合
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A中只有一个元素，求a的值并把这个元素写出来
（3）若A中至多一个元素，求a的范围
【答案】（1）；（2）或，当时，；时，；（3）
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，计算得到答案.
（2）考虑和两种情况，计算得到答案.
（3）综合考虑（1）和（2）中的两种情况，求并集得到答案.
【详解】（1），
当时，；
当时，需满足，解得.
综上所述：A是空集，a的取值范围是.
（2）当时，，满足；
当时，需满足，解得.
综上所述：A中只有一个元素，a的取值范围是，
当时，；时，；
（3）若A中至多一个元素，根据（1）和（2）知，
的范围为.
参考答案：
知识要点：
1．集合的概念
（1）无序性，确定性，互异性；（2），；（3），，，；（4）.
2.集合的表示
（1）；（2）元素的属性.
3.集合的分类
（1）
典型例题：
例1．（1）著名的，无法确定，不能构成一个集合.
（2），故且．
（3）D 对于A、C，这两个集合为点的集合，而B就是一个点，D为方程的解集，即为，故选D.
变式：（1）由题设可得，故且.
（2）由题设有或，故（舍）或或（舍）
例3．（1）；（2）
变式： .
例3 ，故，
不存在，使得．
变式：因，
故存心，使得，
所以
若， 证明：.
故，
.
例4.因为为单元素集合，故，
故.
变式：若，此时，合；
若，则，故，
综上，.
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