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集合的概念与表示
分层演练综合提升
基础巩固
1. 关于命题，下列判断正确的是（ ）
A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题
B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题
C. 命题“”的否定为“”
D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的定义判断AB，再由否定的定义判断CD.
【详解】A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错；
B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错；
C选项，命题“”的否定为“”故C正确；
D选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错；
故选：C
2. 命题“ a，b∈R，使方程ax=b都有唯一解”的否定是( )
A. a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一
B. a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一
C. a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在
D. a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在
【答案】D
【解析】
【分析】全称量词命题的否定，先否定量词，再否定“都有唯一”得解.
【详解】选D.该命题的否定： a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在.
【误区警示】解答本题，在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.
故选：D
3. 命题“，”的否定形式是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【详解】解：命题“，”为特称命题，其否定为全称命题，
则否定是：，，
故选：．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
4. 下列说法中正确的个数是（ ）
A. 命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
B. 命题“”是全称量词命题；
C. 命题“，”是存在量词命题．
D. 命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题；
【答案】BC
【解析】
【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D.
【详解】A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误；
B中命题“”是全称量词命题,故B正确；
C中命题“,”是存在量词命题,故C正确；
D中选项中当时，即当时，方程没有实数根,因此，此命题为假命题.
故选：BC
5. 选择合适的量词、，加在的前面，使其成为一个真命题：
（1）；
（2）；
（3）是偶数；
（4）若x是无理数，则是无理数；
（5）这是含有三个变量的语句，用表示
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】根据勾股定理等知识，用全称量词和存在量词改写命题，使其成为真命题即可.
【详解】（1），.
（2），；，都是真命题.
（3），x是偶数；
（4），若x是无理数，则是无理数；例如.
（5），b，，有.
【点睛】本题主要考查了用全称量词和存在量词改写命题，属于中档题.
能力提升
6. 已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出命题为真时参数 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件；
【详解】解：因为，为真命题，所以，，因为函数在上单调递增，所以，所以
又因为
所以命题“，”是真命题的一个充分不必要条件为
故选：C
【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.
7. 已知命题，，若是假命题，求实数m的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
问题转化为一元二次方程在有解问题，即方程有解.
【详解】∵是假命题，∴p是真命题.
也就是，使得，即方程有解.
又，当时取等号，因此，即.
∴m的取值范围是.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定、一元二次方程的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的应用.
8. 是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存，说明理由
【答案】存在整数.
【解析】
【分析】根据全称命题的真假以及可得，解不等式即可求解.
【详解】假设存在整数，使得命题“”是真命题．
因为当时，，所以，解得．
又为整数，所以，故存在整数，
使得命题是真命题．
挑战创新
9. 已知集合，，
（1）若，，总有成立，求实数的取值范围；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若，，使得成立，求实数的取值范围；
（4）若，，使得成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】（1）由，，总有成立，则，列出不等式，继而得出答案；
（2）由，，使得成立，则，列出不等式，继而得出答案；
（3）由，，使得成立，则，列出不等式，继而得出答案；
（4）由，，使得成立，则，列出不等式，继而得出答案；
【详解】（1）设，，其中，
由题设可得即，故，
解得.
（2）由题设可得，故，解得.
（3）设，，其中，
由题设可得即，故或，
解得.
（4）由题设可得，故或，解得.
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全称量词与存在量词
学习目标：
1.了解全称量词和存在量词的定义和全称命题、存在性命题的定义；
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定；
知识要点：
1.全称量词和全称量词命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号__表示；
（2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为：.其中，为给定的集合，是一个含有的语句.
2.存在量词和存在量词命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号__表示；
（2）含有存在量词的命题叫做存在量词命题，其一般形式为：.其中，为给定的集合，是一个含有的语句.
3.全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题：的否定为_____________.
（2）存在量词命题：的否定为______________.
典型例题：
题组一 命题类型判断与真假判读
1. 用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（1）实数都能写成小数形式.
（2）有的有理数没有倒数.
（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.
（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】（1）按全称命题改写，再判断命题真假.
（2）按特殊命题改写，再判断命题真假.
（3）按全称命题改写，再判断命题真假.
（4）按特殊命题改写，再判断命题真假.
【详解】（1） a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.
（2） x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.
（3） m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时，方程无实根，是假命题.
（4） x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立，所以为假命题.
2. （多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A.
B.
C. 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D. 存在实数，使得
【答案】AC
【解析】
【分析】根据全称命题的定义逐一判断可得选项.
【详解】对于A，，所以，故A选项是全称量词命题且为真命题；
对于B，当时，恒成立，故B选项是存在量词命题且真命题；
对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题；
对于D，因为，所以.故D选项是假命题.
故选：AC.
题组二 两类命题的否定
3. 设命题: “”，则的否定（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题否定的定义即可判断答案.
【详解】由题意，的否定为：.
故选：B.
4. 已知命题：“，”，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】根据全称命题的否定形式，可得“，”.
故选：C
5. 已知A为奇数集，B为偶数集，命题，则下列一定正确的选项为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称命题否定变换形式是特称命题，并且条件不变，结论否定即可求解.
【详解】命题，，
则，.
故选：D
题组三 命题的真假与参数的范围
6. 已知，，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】，，由题设有，故.
7. 已知，，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】，，由题设有或 ，故.
题组四 两类命题的应用
8. 已知集合，，
（1）若，，总有成立，求实数的取值范围；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设，，由题设可得，建立不等式组，解之可得答案.
（2）由题设可得，建立不等式组，解之可得答案.
【详解】（1）设，，其中，
由题设可得，即，故，
解得.
（2）由题设可得，故，解得.
9. 已知集合，，
（1）若，，使得成立，求实数的取值范围；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，，使得成立，得，列出不等式，解不等式即可得解；
（2）由，，使得成立，得，列出不等式，解不等式即可得解.
【详解】解：（1）设，，其中，
由题设可得即，故或，
解得.
（2）由题设可得，故故或，解得.
当堂检测：
10. 命题“，”的否定是（ ）
A. “，使得” B. “，使得”
C. “，使得” D. “，使得”
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定方法写出即可得解.
【详解】原命题为全称量词命题，则该命题的否定为存在量词命题，
所以所求的否定是：，.
故选：C
11. 命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定形式，即可求解.
【详解】命题“”的否定形式为：“”.
故选：D.
12. 写出命题的否定，，____________．
【答案】.
【解析】
【分析】对特称量词的否定用全称量词，直接写出命题的否定.
【详解】由“”得到
命题的否定：“”.
故答案为：.
【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．
13. 已知命题p：，使得是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
只需时，的最小值符合条件，然后求解的取值范围.
【详解】解：若命题p：，使得是真命题，则只需当时，成立，即，得.
【点睛】本题根据全称命题的真假求解参数的取值范围，考查不等式的恒成立问题，属于简单题.
14. 判断下列命题的否定的真假：
（1）任何一个平行四边形的对边都平行 （2）非负数的平方是正数
（3）有的四边形没有外接圆 （4），使得
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】（1）写出原命题的否定，由平行四边形的性质可判断真假；
（2）写出原命题的否定，平方数的性质可判断真假；
（3）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假；
（4）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假.
【详解】（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”，
由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题；
（2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”，
因为，不是正数，所以该命题的否定是真命题；
（3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”，
因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题；
（4）命题的否定为“，都有”，
因为当，时，，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题.
1.全称量词与全称量词命题 （1）；（2）.
2.存量词与存在量词命题 （1）；（2）
3.全称量词命题与存在量词命题否定（1）；（2）
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全称量词与存在量词
【知识要点】
1.全称量词与全称量词命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做______，用符号__表示；
（2）含有_______量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为：.
2.存在量词与存在量词命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做______，用符号__表示；
（2）含有_______量词的命题叫做存在量词命题，其一般形式为：.
3.全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题：的否定为_____________.
（2）存在量词命题：否定为______________.
【公式概念应用】
1. 设命题: “”，则的否定（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题否定的定义即可判断答案.
【详解】由题意，的否定为：.
故选：B.
2. 设命题，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
命题“，”的否定“，”.
故选：A.
3. 有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_____．
【答案】（3）
【解析】
【分析】由所有男生都爱踢足球是一个全称命题，根据全称命题的否定求解即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，即要否定结论又要改写量词
所有男生都爱踢足球，是一个全称命题，
所以“所有男生都爱踢足球”的否定是：至少有一个男生不爱踢足球；
故答案为：（3）．
4. 写出下列命题的否定，并判断其真假性.
（1），；
（2）每一个平行四边形都是中心对称图形；
（3）有些三角形是直角三角形；
（4），；
（5），.
【答案】命题的否定见解析;（1）（2）（3）（4）为假命题; （5）为真命题.
【解析】
【分析】改量词,否结论.全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
【详解】（1）;假命题.
（2）有些平行四边形不是中心对称图形;假命题.
（3）所有三角形都不是直角三角形; 假命题.
（4）,;假命题.
（5）;真命题.
参考答案：
1全称量词与全称量词命题 （1）全称量词，；（2）全称，.
2.存在量词与存在量词命题 （1）存在量词，；（2）存在，
3.全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）；（2）
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