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集合的基本运算
【知识要点】
1，，.
2.（1）若，则______， ______，
（2）______，______
【公式概念应用】
1. 已知集合和集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用交集的定义求解即可
【详解】因为集合和集合，
所以，
故选：C．
2. 已知集合，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的定义计算．
【详解】由已知，
故选：B．
3. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】解：因为，
所以，，所以.
故选：B
4. 若集合，满足：，，则下列关系可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据子集的定义以及特殊例子一一说明即可；
【详解】解：若，则，则，故不，，即A一定错误，
若，时，满足“，”，此时，即B正确.
若，时，满足“，”成立，此时，即C正确.
若，时满足条件“，”且有，则D正确.
故选：BCD.
5. 设全集，集合，.
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；
（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以，
（2）因为，所以，
所以.
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集合的基本运算
学习目标：
1.理解集合交并补的概念，能正确描述集合间基本运算.
2.能借助数轴、韦恩图等工具正确求解集合的运算结果.
3.理解集合等式蕴含的集合关系.
知识要点：
1.交集
一般地，由所有属于___属于的元素构成的集合称为与的交集，记为____，读作“交”，即_____.
2.并集
一般地，由所有属于___属于的元素构成的集合称为与的并集，记为____，读作“并”，即____.
3.补集与全集
（1）一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及到的全部元素，则称该集合为全集，记为.
（2）设为的子集，由中____的所有元素构成的集合称为在中的补集，记为，读作“在中补集”.
4.常见的集合等式及其含义
（1）若或，则；
（2）若，则；若，则
典型例题：
题组一 已知集合，求集合间基本运算
例1.（1）已知集合或，，则______.
（2）已知集合A=，B=，=_______.
变式：如图所示，图中的阴影部分可用集合U，A，B，C表示为_______.
题组二 已知集合间运算结果，求集合
例2.（1）设集合，若，则的值为_________.
（2）已知集合，，且，则（ ）
A.{1，2} B.{0，1，2} C.{-1，0，1，2} D.{-1，0，1，2，3}
变式：设全集，若，，，则集合________.
题组三 含参数的集合问题
例3.已知集合
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
当堂检测：
1. 已知集合， ，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用并集的概念求解即可.
【详解】由， ，
则=.
故选：B
2. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】解：因为，
所以，，所以.
故选：B
3. 设集合，，，，则下列选项中，满足的实数的取值范围可以是（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据可得或，解不等式可以得到实数的取值范围，然后结合选项即可得出结果.
【详解】集合，，，，满足，或，解得或，实数的取值范围可以是或，结合选项可得CD符合.
故选：CD.
4. 已知全集U的两个非空真子集A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】采用特值法，可设，，，根据集合之间的基本关系，对选项逐项进行检验，即可得到结果.
【详解】令，，，满足，但，，故A，B均不正确；
由，知，∴，∴，
由，知，∴，故C，D均正确.
故选：CD.
5. 设全集为，，．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）；或；（2）；
【解析】
【分析】（1）求解一元二次不等式，得集合，然后根据集合的交并补集的定义计算即可；（2）由，可得，然后分别讨论集合与两种情况.
【详解】（1）求解得集合，所以或，
所以，或；
（2）因为，所以.当集合时，，得；
当集合时，，得，
综上，的取值范围为.
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集合的基本运算
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知集合，则的子集的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．
【详解】由题意，因此它的子集个数为4．
故选：D．
2. 已知集合，，若，则实数的值是（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 0或或
【答案】D
【解析】
【分析】由，转化为，分和 两种情况讨论求解.
【详解】已知集合，，
因为，所以，
当时，，符合题意；
当时，，则，解得，此时，符合题意；
综上：实数a的值是0或1或
故选：D
【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分和两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于一般题.
3. 设全集，或，，则集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，全集，或，，
可得，则.
故选：C.
【点睛】集合基本运算的关注点：
（1）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系进行运算，可使得问题简单明了，易于解决；
（3）主要数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图.
4. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案
【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为或，
故选：AD
5. 设或，求：
（1）；
（2）
【答案】（1）； （2）或.
【解析】
【分析】（1）根据集合交集的概念及运算，即可求解；
（2）根据补集的运算，求得，再结合集合并集的运算，即可求解.
【详解】（1）由题意，集合或，
根据集合交集的概念及运算，可得.
（2）由或，
可得或，，
所以或.
能力提升
6. 我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合，且叫做集合A与B的差集，记作.设，若，则差集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据已知条件求解出，然后根据差集的概念求解出的结果.
【详解】因为，
根据差集定义可知：，
故选：C.
【点睛】本题考查集合的新定义问题，其中涉及到交、并集的运算，主要考查学生的理解能力，难度一般.本例中，差集可以理解为.
7. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）分别求解集合，再求解的值；
（2）由条件可知，利用子集关系，分和列式求解实数的取值范围.
【详解】解：（1）当时，
或
（2），，
①当时，，此时满足；
②当时，要使成立，
则需满足，
综上，实数的取值范围是
8. 在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数的值；若问题中的集合不存在，说明理由．
问题：是否存在集合，满足集合，集合，使得__________成立？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】若选编号①，则可得则，根据元素与集合的关系可解；若选编号②，则的两根为，根据韦达定理可解；若选编号③，由 则或或，从而可解.
【详解】由条件可得
解：选编号①，
要使得，则
所以且
解得
选编号②，
由，即的两根为
由韦达定理可得解得
选编号③
由 则或或
当时，即
当时，，
当时，无解，
综上可得
挑战创新
9. 已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347.
【解析】
【分析】
（1）根据题目定义，直接计算集合及；
（2）根据两集合相等即可找到，，，的关系；
（3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值．
【详解】（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，
即，
剩下的，
所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
，
，
，
，，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
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