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1.4.1.2 空间中直线、平面的平行
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若直线l的一个方向向量为＝(6，2，3)，平面α的一个法向量为＝(－1，3，0)，则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A. 垂直 B. 平行
C. 直线l在平面α内 D. 不能确定
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量数量积来判断线面关系即可.
【详解】∵＝－6＋2×3＋0＝0，∴
∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．
故选：BC
2. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得平面与平面的法向量共线，由此可求得实数的值.
【详解】由已知可得，故，解得.
故选：C.
3. 若＝是平面α的一个法向量，且＝(－1，2，1)，＝均与平面α平行，则向量＝________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量，都与平面α平行，从而有代入解得未知数即可.
【详解】解析 由题意，知
即解得
所以.
故答案为：
4. 已知α，β为两个不重合的平面，设平面与向量＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量＝(－2，4，－8)垂直，则平面与β的位置关系是________．
【答案】平行
【解析】
【分析】根据题意判断，即可得到两平面的位置关系.
【详解】，，，
所以，又分别是平面的法向量，
所以.
故答案为：平行
5. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求出平面ABE的一个法向量，根据即可求解.
【详解】如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立
如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，
则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F，E .
所以＝(0，－b，0)，＝.
设平面ABE的一个法向量为＝(x，y，z)，
则，
即
令x＝2，则y＝0，z＝－，即＝.
又，所以，
又C1F 平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
能力提升
6. 如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（ ）
A. 异面直线
B. 平行直线
C. 垂直不相交
D. 垂直且相交
【答案】B
【解析】
【分析】在正方体中，建立以D点为坐标原点的空间直角坐标系，根据满足的条件求得，从而求得其与的关系， 判断两直线的关系.
【详解】设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后如图所示：
则，，， ，，
＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，
设＝(a，b，c)，
则
取＝(1，1，－1)，
∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，
∴∥，
∴PQ∥BD1.
故选：B
7. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（ ）
A. (1，1，1) B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．
考点：空间直角坐标系中点的坐标．
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8. (多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是（ ）
A. A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1
D. A1M∥平面D1PQB1
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用向量运算求得，由此判断出正确结论.
【详解】依题意可知，所以四点共面.
因为，
，
所以，则，结合线面平行的判定定理可知ACD正确.
而与不平行，所以B不正确.
故选：ACD
挑战创新
9. 直线的方向向量，平面α的法向量为，若直线平面，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面，可得即可求解.
【详解】因为直线的方向向量，平面α的法向量为，
直线平面，
所以，即，解得：
故选：D.
10. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，.
问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE//平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】存在点E为PD中点时，CE//平面PAB.
【解析】
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据直线与平面平行的条件：直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用空间向量的坐标运算求解.
【详解】由已知得以AB，AD，AP两两垂直，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
∵，∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)，
∵E是棱PD上的点，∴∥，∴，即①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB，可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.
∴E是PD的中点，
此时，由于平面,
∴CE∥平面PAB.
故存在满足题意的点E,使得CE∥平面PAB，且点E为棱PD的中点.
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1.4.1.2 空间中直线、平面的平行
【知识要点】
知识点一线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2．
知识点二线面平行的向量表示
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则
l∥α u⊥n u·n＝0．
知识点三面面平行的向量表示
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
【公式概念应用】
1. 已知直线l的方向向量为a＝(－1，2，0)，平面α的法向量为n＝(2，1，－1)，则（ ）
A. l⊥α B. l∥α
C. l α D. l∥α或l α
【答案】D
2. 若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是（ ）
A. B. (2，－1，0)
C. (1，2，0) D.
【答案】A
3. 若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－4，－8，4)，则平面α，β的位置是________．
【答案】α∥β
【解析】
【分析】
【详解】解析∵u＝－v，∴α∥β．
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1.4.1.2 空间中直线、平面的平行
学习目标：
熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.
方法要点：
1利用向量证明线线平行的思路
证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.
2 证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
3 证明面面平行问题方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.
典型例题：
题组一、证明线线平行
1. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】方法一：如图建立空间直角坐标系，利用空间向量证明
方法二：把作为基底，然后用基底把，表示出来，再利用共线定理证明
【详解】证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
则，分别为MN，RS的方向向量，
所以＝，＝，
所以＝，所以∥，因为M RS，
所以MN∥RS.
方法二 设，
则＝＋＋＝，
＝＋＋＝.
所以＝，所以∥.
又R MN，所以MN∥RS.
2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】建立合适的空间直角坐标系，计算得出并结合即可得证.
【详解】如下图，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，则,
所以,
所以，
所以，
又因为,
所以，
所以四边形AEC1F是平行四边形.
题组二、证明线面平行
3. 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】根据题意作图如图所示，连接AC交BD于O，连接OE，证明，即可证明PA∥平面EDB.
【详解】证明：根据题意作图如图所示，连接AC交BD于O，连接OE，
由四边形ABCD是正方形，则O为AC的中点，
在三角形PAC中，因为E是PC的中点，
所以，
又平面EDB，平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
4. 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据已知条件，可得EB，EF，EA两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求得平面DEG的法向量，证明与平面的法向量垂直，即可证明与平面平行.
【详解】证明 ∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，
∴EB，EF，EA两两垂直.
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，
∴A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，
∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2).
设平面DEG的法向量为＝(x，y，z)，
则
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则＝(－1,1，－1)，
∴＝－2＋0＋2＝0，即.
∵平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
题组三、证明面面平行
5. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据题意建立适当的空间直角坐标系，结合题意求出两个平面的法向量，根据两个法向量平行即可得出两个平面平行.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则，
所以，，，，
设是平面ADE的法向量，
则，，
即得，
令，则，所以可取.
同理，设是平面B1C1F的一个法向量.
由，
得，解得.
令，得，
所以.
因为，所以，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
6. 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法分别证明∥，∥，即DD1∥CC1，DA∥CF，再利用面面平行的判定定理即可得证.
【详解】证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，
所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形.
因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.
取AF的中点M，连接DM，
则DM⊥AB，所以DM⊥CD.
以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)，
所以∥，∥，
所以DD1∥CC1，DA∥CF，
因为CC1，CF 平面FCC1，CC1∩CF＝C，DD1，DA平面FCC1，
所以DD1∥平面FCC1，DA∥平面FCC1，
又DD1∩DA＝D， DD1，DA 平面AA1D1D，
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
7. 已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ）
A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝
C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线的条件列方程组，直接解得.
【详解】由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.
故选：D
8. 如果直线l的方向向量是(－2，0，1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是(2，0，4)，那么（ ）
A. l⊥α B. l∥α
C. l α D. l与α斜交
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合线面平面的判定定理进行求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为直线l上有一点P不在平面α内,
所以l α，所以l∥α.
故选：B
9. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意转化为选择满足的选项，对各选项一一判断即可.
【详解】由题意得，若使l∥α，那么就要使，即.
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
10. 设平面的一个法向量分别为，，则的位置关系为____________.
【答案】平行
【解析】
【分析】观察两个法向量的坐标形式，得出两个法向量的位置关系，则得出两平面的位置关系.
【详解】因为，，
所以，
所以，
又因为，分别为平面的一个法向量，
所以.
故答案为:平行
11. 已知直线l平面ABC，且l的一个方向向量为，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】由直线l平面ABC，得出存在实数x，y，使，由向量的运算，即可得出的值.
【详解】直线l∥平面ABC
存在实数x，y，使，，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数的值，属于中档题.
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