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2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1. 直线的斜率为2，，直线l2过点且与y轴交于点P，则P点坐标为（ ）
A. (3,0) B. (－3,0) C. (0，－3) D. (0,3)
【答案】D
【解析】
【分析】由两直线,它们的斜率相等得到直线的斜率,又过点,由斜率公式即可求出答案.
【详解】设P(0，y)，因为，所以，
所以y＝3.即P(0,3).
故选：D
2. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂直关系可知斜率乘积为，从而构造方程可求得结果.
【详解】由题意得，直线的斜率：
，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用直线垂直关系求解参数问题，关键是明确两条直线斜率乘积为时，两条直线垂直.
3. 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.
【答案】 ①. －2 ②. 2
【解析】
【分析】根据韦达定理得到，由两直线垂直斜率之积为可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合可得结果.
【详解】直线，的斜率，是关于的方程的两根，∴，
若，则，得；
若，则，∴，得，故答案为和2.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率和直线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，学生的转化能力，是一道基础题.
4. 当为何值时，过两点，的直线：
（1）倾斜角为；
（2）与过两点，的直线垂直；
（3）与过两点，的直线平行.
【答案】（1）或；（2）或；（3）或
【解析】
【分析】利用两点连线斜率公式求得；（1）根据倾斜角求得斜率，构造方程求得结果；（2）利用两点求得斜率，根据垂直关系可知斜率乘积为，构造方程求得结果；（3）利用两点求得斜率，根据平行关系可知斜率相等，构造方程求得结果.
【详解】由题意知：
（1）由得：
解得：或
（2）由及垂直关系得：
解得：或
（3）由及平行关系得：
解得：或，经检验符合题意.
【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、两条直线平行与垂直的性质的应用，属于基础题.
5. 已知在 ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).
（1）求点D的坐标；
（2）试判定 ABCD是否为菱形？
【答案】（1）D(－1,6)
（2）为菱形
【解析】
【分析】（1）设点D坐标为(a，b)，根据四边形ABCD为平行四边形，由kAB＝kCD，kAD＝kBC求解；
（2）根据kAC·kBD＝－1判断.
【小问1详解】
解：设点D坐标为(a，b)，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以
解得
所以D(－1,6).
【小问2详解】
因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，
所以 ABCD为菱形.
6. （多选题）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 2 D. -1
【答案】AB
【解析】
【分析】先分析直线斜率不存在时，即时，直线与直线是否平行，再分析当，两直线的斜率相等，求出，得到答案.
【详解】（1）当时，直线，，故直线AB与直线CD平行；
（2）当时，直线的斜率为，的斜率为，
则，得，此时直线的方程为：，的方程为，
直线AB与直线CD平行.
故选：AB.
【点睛】本题考查了已知两点求直线的斜率，两直线平行的应用，注意分类讨论直线斜率是否存在，属于基础题.
7. 在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
8. 若不同的两点与关于直线对称，则直线的倾斜角为
A. 135° B. 45° C. 30° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点连线斜率公式求得；根据对称关系可知直线与垂直，可得，从而求得；根据直线斜率与倾斜角的关系可得到结果.
【详解】由题意得：
关于直线对称 直线与垂直
，则 直线的倾斜角为
本题正确选项：
【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，关键是能够利用点关于轴对称的特点得到垂直关系，从而得到斜率乘积为.
9. 直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得出直线l1的斜率，根据平行和垂直关系可列出关于m的方程，解方程即可.
【详解】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.
∴直线AB的斜率存在，且kAB＝.
∴＝＝－，
解得m＝4＋.
故答案为：4＋
10. 已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】先求得直线的斜率，再根据垂直关系求高所在的直线斜率.
【详解】由斜率公式可得kAB＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在.
设AB，AC边上高线的斜率分别为k1，k2，
由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝，k2＝.
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为；
AC边上的高所在直线的斜率为.
【点睛】本小题主要考查三角形高所在直线方程的求法，考查两直线垂直的表示，考查直线斜率不存在时直线方程的求法，属于基础题.要求三角形高所在的直线方程，则先求得三角形一边所在直线的斜率，利用高和边垂直的斜率关系，求得高的斜率，再根据点斜式求得高所在直线的方程.
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2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
【知识要点】
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
知识点二 两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
【公式概念应用】
1. 若l1∥l2，则k1＝k2．（ ）
【答案】错误
2. 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．（ ）
【答案】错误
3. 若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．（ ）
【答案】正确
4. 过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，点和点，可得，所以的方程为，
又由直线的斜率为0，且两直线不重合，
所以两直线平行.
故选：B.
5. 已知过点和的直线与斜率为一2的直线平行，则m的值是
A. -8 B. 0 C. 2 D. 10
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可知kAB＝ ＝－2，所以m＝－8.
故选A
6. 设点，给出下面四个结论，其中正确结论的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直线的斜率，根据斜率的关系判断直线之间的关系.
【详解】kPQ==，kSR==， kPS==，kQS==4，kPR==，
因为，，，
所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.
故选：ABD
【点睛】本题考查直线的斜率与位置关系，属于基础题.
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2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
学习目标：
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.
2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直
3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.
方法要点：
1判断两条不重合直线是否平行的方法
2 判断两条直线是否垂直
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
典型例题：
题组一、两条直线平行判定
1. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明.
【答案】四边形ABCD是平行四边形，证明见解析.
【解析】
【分析】分别求四条边所在直线的斜率，根据斜率的关系，判断四边形的形状.
【详解】四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
AB边所在直线的斜率，CD边所在直线的斜率，
BC边所在直线的斜率，DA边所在直线的斜率.
因为，，所以AB∥CD，BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
2. 试确定的值，使过点，的直线与过点，的直线平行.
【答案】.
【解析】
【分析】根据直线所过点的坐标，先得到直线的斜率，根据两直线平行，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】由题意直线的斜率存在，为，
因为直线，则直线斜率也存在，
又，
所以，解得.
经验证时，直线的斜率存在，
故.
题组二、两条直线垂直的判定
3. △ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是直角三角形，求m的值．
【答案】m＝±2，-7,3
【解析】
【详解】试题分析：△ABC是直角三角形有3种情况：：①若AB⊥AC，②若AB⊥BC，③若AC⊥BC，利用斜率乘积为-1，求出m的值，综合可得答案．
试题解析：
当∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，
即，得m＝－7.
同理：当∠B为直角时，得m＝3，
当∠C为直角时，得m＝±2.
4. 判断下列各题中与是否垂直.
（1）的斜率为，经过点，；
（2）经过点，，经过点，.
【答案】（1）垂直；（2）垂直.
【解析】
【分析】（1）两直线斜率存在，若斜率乘积为，则垂直
（2）斜率不存在，则判断是否与平行，若平行，则两直线垂直
【详解】（1）设直线,的斜率分别为,,
则, ,
∵, ∴.
（2）设直线,的斜率分别为,,
∵两点的横坐标相等, ∴的倾斜角为, ∴轴;
∵, ∴轴;
∴.
5. 若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（ ）
A. B. C. 2 D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行对应直线的斜率相等可求解出的值.
【详解】由，即，得.
经检验知，符合题意.
故选：B.
6. 如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率为( )
A. B. a
C. － D. －或不存在
【答案】D
【解析】
【分析】分为和，两种情形，根据两直线垂直和斜率的关系可得结果.
【详解】当时，的斜率不存在；
当时，两直线的斜率满足，即的斜率为.
综上可得的斜率为或不存在，故选D.
【点睛】本题考查了直线的斜率，考查了两直线垂直和斜率的关系，有斜率的两条直线垂直，则斜率之积等于，是基础题．
7. 已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直
C. 可能重合 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】由韦达定理可知，由此可作出判断.
【详解】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．
故选：B
8. 若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是（ ）
A. 若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B. 若k1＝k2，则l1∥l2
C. 若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D. 若α1＝α2，则l1∥l2
【答案】ABCD
【解析】
【分析】对于A,两直线平行时，得到与轴的夹角即倾斜角相等，根据倾斜角与斜率的关系，当斜率不存在时可以得到两直线平行；
对于B两直线的斜率相等，即可得到倾斜角的正切值相等，根据正切函数的单调性可判断两个倾斜角相等，根据同位角相等得到两直线平行；
对于C,根据两直线平行，同位角相等即可判断；
对于D,根据同位角相等，两直线平行即可判断．
【详解】解：由于斜率都存在，若，则，故A正确；
因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，故B正确；
因为，根据两直线平行，得到，故C正确；
因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，故D正确；
故选： ．
9. 若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
【答案】－1
【解析】
【分析】先求PQ斜率，再根据其负倒数得线段PQ的垂直平分线的斜率.
【详解】 线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
【点睛】本题考查利用斜率研究两直线位置关系,考查基本求解能力.
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