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1.4.1.3空间中直线 平面的垂直
学习目标：
熟练掌握用方向向量 法向量证明线线 线面 面面间的垂直关系.
方法要点：
1.证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
2.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
（1）利用线线垂直
①将直线的方向向量用坐标表示.
②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.
③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.
（2）利用平面的法向量
①将直线的方向向量用坐标表示.
②求出平面的法向量.
③判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
3证明面面垂直的两种方法
（1）常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直 线线垂直去证明.
（2）法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
典型例题：
题组一 证明线线垂直问题
例1如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC.
变式已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN.
题组二 证明线面垂直问题
例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.
变式如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
题组三 证明面面垂直问题
例3在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS=AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
变式在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.
求证：平面AED⊥平面A1FD1；
当堂检测：
1. 若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据法向量垂直即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，所以，
所以与的位置关系是垂直关系.
故选：B
2. 已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（ ）
A. 4 B. -4 C. 5 D. -5
【答案】D
【解析】
【分析】根据α⊥β，得，则，进而可求得k得值.
【详解】解：由平面α的法向量为，平面β的法向量为，
∵α⊥β，∴，
∴.
∴.
故选：D.
3. 如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求出与的坐标，又CF⊥B1E，所以，根据空间向量数量积的坐标运算即可得点F（0，y，z）满足的方程.
【详解】解：E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），F（0，y，z），
所以，，
因为CF⊥B1E，所以，即，
所以.
故选：D.
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________.
【答案】PM⊥AM
【解析】
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系如图所示，可得、、、、各点的坐标，从而得出、的坐标，计算出即可得到；
【详解】解：以点为原点，、、为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
可得，．
，，
由此可得，
即，可得．
故答案为：
5. 在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)
【答案】是
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出SC与BC的方向向量，求出数量积可作出判断.
【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC＝2，BC＝，SB＝，
得，，，
， .
因为，
所以SC⊥BC.
故答案为：是
答案
例1证明由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，
在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0），
因而E，F，
所以=，=（0，2，0），
因此·=0从而⊥，所以EF⊥BC.
变式证明设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得A，B，C，
N，B1，
∵M为BC的中点，
∴M.
∴=，=（1，0，1），
∴·=-+0+=0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
例2证明由题意得，DA，DC，DP两两垂直，
所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，
设DC=PD=1，则P（0，0，1），A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），E.
所以=（1，1，-1），=，=，设F（x，y，z），
则=（x，y，z-1），=.
因为⊥，所以x+-=0，
即x+y-z=0.①
又因为∥，可设=λ（0≤λ≤1），
所以x=λ，y=λ，z-1=-λ.②
由①②可知，x=，y=，z=，
所以=.
方法一因为·=（1，1，-1）·=0+-=0，
所以⊥，所以PB⊥DE，
因为PB⊥EF，又EF∩DE=E，EF，DE 平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二设n2=（x2，y2，z2）为平面EFD的法向量，
则有
即
所以取z2=1，则n2=（-1，-1，1）
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
变式证明设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）.
∴=（1，1，2）-（2，2，1）
=（-1，-1，1）.
=（2，2，2）-（2，0，0）=（0，2，2），
=（0，2，0）-（2，0，0）=（-2，2，0）.
设平面B1AC的法向量为n=（x，y，z），
则
令x=1得n=（1，1，-1），
又=-n，
∴EF∥n，
∴EF⊥平面B1AC.
例3证明设AS=AB=1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E.
方法一连接AC，交BD于点O，连接OE，
则点O的坐标为.
易知=（0，0，1），=，
所以=，
所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二设平面BDE的法向量为n1=（x，y，z）.
易知=（-1，1，0），=，
所以
即
令x=1，可得平面BDE的一个法向量为n1=（1，1，0）.
因为AS⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2==（0，0，1）.
因为n1·n2=0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
变式证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
∴==（2，0，0），=（2，2，1），=（0，1，-2）.
设平面AED的一个法向量为n1=（x1，y1，z1）.
由
得令y1=1，得n1=（0，1，-2）.
同理，平面A1FD1的一个法向量为n2=（0，2，1）.
∵n1·n2=（0，1，-2）·（0，2，1）=0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.
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1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直
【知识要点】
知识点一 线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 ， l2 的方向向量，则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
知识点二 线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，
则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
知识点三 面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，
则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
【公式概念应用】
1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A. B.
C. D. 与斜交
【答案】B
【解析】
【分析】判断与的位置关系，进而可得出结论.
【详解】由已知可得，则，因此，.
故选：B.
2. 已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为（ ）
A. 1或－ B. 1或
C. －1或 D. －1或－
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】由题意知，a⊥b，
∴3λ＋1＋2λ2＝0，
∴λ＝－1或－.
3. (多选)下列命题中，正确的命题为（ ）
A. 若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β
B. 若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β n1·n2＝0
C. 若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥a
D. 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直
【答案】BCD
【解析】
【分析】
【详解】A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确．
4. 平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】
【详解】∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝
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1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（ ）
A. 10 B. －10
C. D. －
【答案】B
【解析】
【分析】由α⊥β，可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x的值
【详解】解：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10．
故选：B
2. 已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )
A. (1,0，－2) B. (1,0,2)
C. (－1,0,2) D. (2,0，－1)
【答案】C
【解析】
【分析】利用⊥，⊥ ．即可得出．
【详解】∵，，．
∵⊥，⊥，∴．
∴，解得．
∴P(－1,0,2) ．
故选C ．
【点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系，考查运算能力，属于基础题.
3. (多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）
A. 和AC垂直
B. 和AA1垂直
C. 和MN垂直
D. 与AC，MN都不垂直
【答案】AC
【解析】
【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，证明＝0，＝0，，即得解.
【详解】
以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2a，
则D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，，
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，，
∴＝0，＝0，，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．OM和AA1不垂直.
故选：AC．
4. 在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为________________．
【答案】(－2，4，1)或(2，－4，－1)
【解析】
【分析】首先设向量，根据线面垂直关系，以及向量的模，列式求向量的坐标
【详解】据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2)．
设(x，y，z)，∵与平面ABC垂直，
即 可得
，，
解得或．
当时，，；当时，，．
∴的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1)．
故答案为：(－2，4，1)或(2，－4，－1)
5. 如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】用基底{} 表示，利用向量的数量积运算证明即可.
【详解】
,
.
∴PQ⊥OA．
能力提升
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（ ）
A. EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B. EF⊥A1D，EF⊥AC
C. EF与BD1相交
D. EF与BD1异面
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系；
【详解】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，则，，，，，，，，
∴，，，，
∴，，，
从而，，，
故选：B．
7. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点， F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶1 C. 3∶1 D. 2∶1
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用可解得结果.
【详解】如图：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：
设正方形的边长为1，，，
则，，，，
所以，，
因为BF⊥PE，所以，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示，属于基础题
8. 如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条．
【答案】1
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用列方程组，由此判断出符合题意的的数量.
【详解】解析假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2，0，2)，E(1，2，0)，
设,，
所以，则，
即.
同理，若设，可得，
所以，
由于平面，,
所以，解得.
即存在满足条件的直线MN，有且只有一条．
故答案为：
挑战创新
9. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是（ ）
A. 当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B. 当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C. 在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D. 不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD
【答案】D
【解析】
【分析】以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可
【详解】以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，
则=(1，0，1)，，.
设平面A1BD的一个法向量为，则取，则x=2，y=1，所以平面A1BD的一个法向量为.
假设DQ⊥平面A1BD，且=λ，则.
因为也是平面A1BD的一个法向量，
所以与共线，
则成立，所以
但此关于λ的方程组无解.
故不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD.
故选：D.
【点睛】此题考查了利用空间向量判断线面垂直的方法，属于中档题.
10. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点.
【解析】
【分析】以D为原点，DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
（1）计算即可证明；
（2）求出面A1BD与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可．
【详解】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴，即A1E⊥BD；
（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)
∴， ， ，.
∴,
取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
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