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1.4.2.2夹角问题
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知,,,,则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出向量=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),再利用向量法求两异面直线所成的角的余弦.
【详解】由题得=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos<>=,
故直线AB和CD所成角的余弦值为.
故选：A
【点睛】(1)本题主要考查向量法求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.
2. 正方形所在平面外一点平面.若，则平面与平面所成的角的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】由P为正方形外一点，平面，有CD⊥PD，PA⊥AB，AB∥CD又面PAB，面PCD且P 面PAB 面PCD即可确定二面角，进而求其大小
【详解】由题意，有如下示意图
∵P为正方形外一点，平面
∴PA⊥CD，又CD⊥AD
∴CD⊥面PAD
故，有CD⊥PD，又PA⊥AB，AB∥CD，面PAB，面PCD且P 面PAB 面PCD
可知，面与面所成的二面角为
在内，
故选：B
【点睛】本题考查了二面角，两个面内有两直线平行，过两面交线上一点分别作两直线的垂线，即可得两面的夹角的平面角即二面角，进而确定角的大小
3. 如图,在正方体中,M是的中点,O是底面ABCD的中心,P是上的任意点,则直线BM与OP所成的角为__________ .
【答案】
【解析】
【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM与此平面垂直.
【详解】如图,取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,FB1,EA1,
易得,∴BM⊥B1F,
又∵AB‖EF,AB⊥平面BCC1B1,∴EF⊥平面BCC1B1,
∵BM 平面BCC1B1,∴EF⊥BM,
又∵EF∩B1F=F,∴BM⊥平面A1B1FE,
又∵OP 平面A1B1FE,
∴BM⊥OP,
∴BM与OP所成的角为90°,
故答案为：90°.
4. 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【详解】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）
∴（﹣2，0，1），（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos，═．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
故答案为．
【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．
5. 已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于________.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所求夹角的余弦值.
【详解】如图，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，
平面ABC的法向量为，
平面AEF的法向量为.
所以，
所以，
则,
取x=1，则y=-1，z=3.故.
所以.
所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为.
故答案为：
能力提升
6. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝
视频
7. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（ ）
A. 60° B. 90°
C. 45° D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出图形建立合适的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法进行求解即可.
【详解】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，A1（1，0，2），E（1，1，1），D1（0，0，2），A（1，0，0），
所以.
设平面A1ED1的一个法向量为，
则,得，
令z=1，得，
设直线与平面A1ED1所成角为，
所以，
又因为，
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
故选:B
8. 已知正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____.
【答案】
【解析】
【分析】画出图形建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法进行求解即可.
【详解】取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系.
设BC=1，则.
所以，
则为平面BCD的一个法向量.
设平面ABD的法向量为，
则，所以，
取，则，
所以.
即平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为.
故答案为:
挑战创新
9. 如图，在三棱锥中，顶点在空间直角坐标系的原点处，顶点，，分别在，， 轴上，是线段的中点，且，当时，异面直线与所成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，，，，再由，可得，然后利用向量的夹角公式求解即可
【详解】由题意，，，，，
当时，在中，，，，
∴，∴，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：
【点睛】此题考查向量的夹角公式的运用，考查计算能力，属于基础题
10. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解；
（2）求出的坐标以及平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解；
（3）为平面的一个法向量，结合（2）中平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解；
【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
（1），，，
所以，，
所以，
故直线与所成角的余弦值为；
（2）由（1）得，，，
得，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以
设直线与平面所成角为，
所以，
又直线与平面所成角的范围是，
所以，
故直线与平面所成角的余弦值为；
（3）由（2）可得平面的法向量为，
因为面，所以平面的一个法向量，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
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1.4.2.2 夹角问题
【知识要点】
知识点一 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点二 空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
【公式概念应用】
1. 正方体中，分别是的中点，则直线与所成角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出异面直线与所成角的大小．
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；
设棱长为2，
则，0，，，2，，，1，，，0，，
，2，，，1，；
∴，
∴，
即，异面直线与所成的角的大小是．
故选：D．
2. 已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，故选B.
3. 已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】∵cos〈u，v〉＝＝－，∴〈u，v〉＝π，
∴平面α与β的夹角是.
4. 在空间直角坐标系中，已知，，则向量与平面的法向量的夹角的正弦值为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意得到平面的法向量为和，再利用向量夹角公式计算即可得到答案.
【详解】平面的一个法向量为，，
所以.
∵，
∴.
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量的夹角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.
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1.4.2.2 夹角问题
学习目标：
1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．
方法要点：
1.求异面直线夹角的方法
（1）传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．
（2）向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝.
2.利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
（1）建立空间直角坐标系．
（2）求直线的方向向量u.
（3）求平面的法向量n.
（4）设线面角为θ，则sin θ＝ .
3.求两平面夹角的两种方法
（1）定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
（2）法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉
典型例题：
题组一、两条异面直线所成的角
1. 如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】
【解析】
【分析】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
利用向量法求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以.
设所求的角为,
则,
即异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】(1)本题主要考查求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.
2. 如图所示，在正方体中，已知、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，
，
因此，与所成角的余弦值为.
故选：A.
题组二、直线与平面所成的角
3. 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
【答案】45°
【解析】
【详解】本试题主要考查了空间中的线线位置关系，以及线面角的求解的综合运用．
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴
正向建立空间直角坐标系如图．
则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）
（Ⅰ）, 因为， 所以CM⊥SN ．
（Ⅱ）, 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则因为
所以SN与平面CMN所成角为45°．
视频
4. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
【答案】正弦值为.
【解析】
【分析】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】解:以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
由即
令可得．
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为.
题组三、两个平面的夹角
5. 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（1）证明：O1O⊥平面ABCD；
（2）若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知中，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形．可得且，，进而，，再由线面垂直的判定定理得到底面；
（2）设四棱柱的所有棱长均为，设为2，若，，，以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．
【详解】证明：（1）四棱柱的所有棱长都相等，
四边形为菱形，
又，
故为的中点，
同理也是的中点，
又四边形和四边形均为矩形，
且，，
，，
又，，平面，
底面；
解：（2）设四棱柱的所有棱长均相等，所以四边形是菱形，
，
又底面，
，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立直角坐标系．
设，
，
，，
则，，，
易知，是平面的一个法向量，
设，，是平面的一个法向量，则，即
取，则，，所以，，
设二面角的大小为，易知是锐角，于是：
，
故二面角的余弦值为．
6. 如图所示，在几何体S-ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°，求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值.
【答案】.
【解析】
【分析】
过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.分别求出两个平面的法向量，进而求出两个面所成角的余弦值.
【详解】如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵∠SDC=120°，∴∠SDE=30°，又SD=2，∴点S到y轴的距离为1，
到x轴的距离为，则有D(0，0，0)，S (-1，，0)，A(0，0，2)，C(2，0，0)，B(2，0，1)，设平面SAD的法向量为=(x，y，z)，
∵=(0，0，-2)，=(-1，，-2)，
∴
取x=，得平面SAD的一个法向量为=(，1，0).
又=(2，0，-1)，设平面SAB的法向量为=(a，b，c)，
则即令a=，
则=(，5，2)，
故平面SAD与平面SAB所成角的余弦值是.
【点睛】本题考查了用空间向量求面与面所成角的余弦值，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
当堂检测：
7. 若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与的夹角为( )
A. B.
C. 或 D. 以上均不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据异面直线的定义即可得出答案．
【详解】根据异面直线所成角的定义即知所成角为．
故选：A．
【点睛】考查直线的方向向量的概念，以及异面直线所成角的概念．
8. 已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与所成的锐角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】利用面面夹角公式求得与的夹角.
【详解】设与所成的角为θ，且0°<θ<90°，
则.
故选：B
9. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则
，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.
考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.
视频
10. 如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得的值.
【详解】由题意可知，平面的一个法向量为，所以，.
故答案为：.
11. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
以D点为原点，建立空间直角坐标系，求平面ACD1的法向量与的夹角的余弦值的绝对值可以得到答案.
【详解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).
因为平面,
所以平面的一个法向量为=(1，1，1),
又=(0，0，1)，
则sin<>=|cos<>|=.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了直线和平面所成的角的向量解法 ,属于基础题.
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