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空间向量章末复习
学习目标：
1． 通过向量的运算， 注意培养学生的数学运算能力．
2．通过利将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
3．通过利用向量计算空间的角，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
4．通过利用向量计算空间的角，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
方法要点：
1 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件
（1）空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的．
（2）利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y.
2 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证)．
3. 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．
4 （1）在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标．
（2）直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量．
典型例题：
题组一、空间向量的概念及运算
1. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】结合空间向量的线性运算列方程，由此求得的值.
【详解】，
所以.
故答案为：；
2. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设，由求出的长；
（2）先计算，，，再由得出与所成角的余弦值．
【详解】（1）设
由题意可知
（2）
又
即与所成角的余弦值为
二、利用空间向量证明位置关系
3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
（1）求证：BM//平面PAD．
（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点．
【解析】
【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，由中位线性质可证ABME是平行四边形，根据线面平行的判定可证BM∥平面PAD．
（2）由线面垂直的判定及性质可得PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于点N，由线面垂直的性质得MN⊥PD，即有MN⊥平面PBD，利用△BME∽△MEN得到线段比例关系证N为AE的中点.
【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且，
∴，.
∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．
∵AE 平面PAD，BM 平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，
∵PD 平面PAD，
∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABME．
作MN⊥BE，交AE于点N，
∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E，
∴MN⊥平面PBD．
易知△BME∽△MEN，而，
∴，即，而，
∴N为AE的中点．
【点睛】关键点点睛：
（1）由中位线性质证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行；
（2）综合应用线面垂直的判定及性质证MN⊥平面PBD，结合三角形相似确定N的位置.
4. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1.
【答案】（1）证明见解析；（2）在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点．
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证得，即可证出结论；
（2）假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，设＝(－3t，4t，0)，其中0≤t≤1，求出平面CEB1的一个法向量为，利用建立方程，解方程即可求出结果.
【详解】（1）证明 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．
因为＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，
所以，所以，即AC⊥BC1.
（2）解 假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
设＝(－3t，4t，0)，其中0≤t≤1.
则E(3－3t，4t，0)，＝(3－3t，4t－4，－4)，＝(0，－4，－4)，，
设平面CEB1的法向量为，
则，即，取，所以平面CEB1的一个法向量为，
由于AC1∥平面CEB1，所以，即，解得.
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点．
三、利用空间向量计算距离
5. 在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．
【答案】.
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，利用空间距离的公式即可求出结果.
【详解】解 如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
则A，B，C，D，
∴＝，＝，＝，
设＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则，所以y＝－x，z＝－x，可取＝(－，1，3)，
代入d＝ ，得d＝＝，
即点D到平面ABC的距离是.
6. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足，则点P到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过作平面于点，过作于点，连接，则即为所求，
【详解】解：如图，过作平面于点，过作于点，
连接，则即为所求，
因为满足，
所以，，，
所以，
故选：．
【点睛】本题考查了求点到直线的距离的方法，属于基础题．
四、利用空间向量求空间角
7. 如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：
（1）求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出、的坐标，由可得答案；
（2）设平面BEC的法向量为，由则，求出法向量为的坐标，再由向量的夹角公式可得答案.
【详解】（1）由题意得， ，，，
，∴，，
∴，
∴直线AF和BE所成的角为.
（2）设平面BEC的法向量为，
又，，
则，
∴x＝0，取z＝1，则，
∴平面BEC的一个法向量为，
∴，
设直线AF和平面BEC所成的角为θ，则，
即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.
8. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，.
求平面与平面的夹角的大小；
若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】；.
【解析】
【分析】取的中点，设，连接，，建立空间直角坐标系，利用向量法求其结果即可.
利用向量法求线面所成角的正弦值即可.
【详解】解:取的中点，设，连接，.
因为，所以，
又因为平面平面，且平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为四边形是正方形，
所以，
所以.
如图，建立以，，所在直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，
则，
令，则，.
于是．
平面的法向量为，
所以.
所以平面与平面的夹角为.
由题意知，，.
设直线与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
当堂检测：
9. 如图，长方体的底面是正方形，点是棱的中点，，求平面和平面夹角的余弦值．
【答案】
【解析】
【分析】以点为坐标原点，以、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，由已知得出可得出，再利用空间向量法可求得平面和平面夹角的余弦值.
【详解】以点为坐标原点，以、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，，则、、、，
因为，则，，
所以，，可得，
所以，则，，，
设平面的法向量为，
由，得，取，可得，
设平面的法向量为，
由，得，取，可得，
因为.
因此，平面和平面夹角的余弦值为.
10. 如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC ，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
（1）求证：BF∥平面 ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
【答案】1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）建立如图的空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量＝(1，0，0)，证得，即可证出结论；
（2）利用空间向量的夹角坐标公式以及空间向量夹角与线面角的关系即可求出结果.
【详解】（1）证明 依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)．
设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h)．
依题意，＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，
又＝(0，2，h)，可得，
又因为直线 BF 平面 ADE ，所以 BF∥平面 ADE .
（2）解:由（1）得＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2)，
设＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，
则，即，
不妨令z＝1，可得＝(2，2，1)，
因此有.
设直线CE与平面BDE所成角为，
因此
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
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空间向量章末复习
【知识要点】
【公式概念应用】
1. (多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是（ ）
A. ＋＋＋＝ B. ＋－－＝
C. －＋－＝ D. ·＝·
【答案】CD
【解析】
【分析】利用空间向量运算对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】，所以C正确.
由上述分析可知：，所以，所以A正确.
，所以B错误.
，
，
，所以，所以D正确.
故选：CD
2. 空间直角坐标系中，已知A（1，–2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|，则P点的坐标为
A. （3，0，0） B. （0，3，0）
C. （0，0，3） D. （0，0，–3）
【答案】C
【解析】
【详解】设P(0,0，z)，则有，解得z＝3.故选C.
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空间向量的定义及
其表示
空间向量的概
空间向量运算的定
念及其运算
义及其几何意义
空间向量的线性运
算和数量积运算
空间向量运算的运
算律
空间向量基本定理
空间向量基本定理与空
间向量运算的坐标表示
空间直角坐标系
空间向量运算的坐标表示
用空间向量表
用空间向量解决
用空间向量研究立体几何
把向量运算的结
立体几何问题
示点、直线、
中的直线、平面的位置关
果“翻译”成相
平面等元素
系、距离和夹角问题
应的几何结论
S
4
D
B
C
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空间向量章末复习
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案.
【详解】
故选：A
2. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意转化为选择满足的选项，对各选项一一判断即可.
【详解】由题意得，若使l∥α，那么就要使，即.
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
3. 已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.
【详解】，，
则
.
故选：C．
【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.
4. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线 故选B.
考点：空间中两点之间的距离
点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．
5. 若向量（x，4，5），（1，﹣2，2），且与的夹角的余弦值为，则x＝（ ）
A. 3 B. ﹣3 C. ﹣11 D. 3或﹣11
【答案】A
【解析】
【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．
【详解】∵x﹣8+10＝x+2，，3．
∴，
则x+2＞0，即x＞﹣2，
则方程整理得x2+8x﹣33＝0，
解得x＝﹣11或3．
x＝﹣11舍去，
∴x＝3
故选A．
【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了计算能力，属于基础题．
6. 平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.
【详解】由题意得，因为，所以（），
即，解得，
所以.
故选:A
7. 已知平面内的两个向量，且．若为平面的法向量，则的值分别为（ ）
A. B. C. 1，2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量线性关系的坐标运算求坐标，再根据为平面的法向量有，即可求.
【详解】．
由为平面的法向量，得，即，解得．
故选：A
8. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
以B为坐标原点,分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴,
建立空间直角坐标系，
则，
∴
设平面BED的一个法向量为，
则，
取z=1,得，
平面ABE的法向量为，
∴.
∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.
故选B.
点睛：用向量法求二面角大小的两种方法：
（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；
（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9. 已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】求出的坐标，根据向量共线，设，结合可得的值，进而可得的坐标，设，列方程组即可求解.
【详解】因为，，所以，
因为，所以可设，
因为，解得：
所以或，
设点，则，
所以或，解得或，
所以点的坐标为或，
故选：AB.
10. 在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC（ ）
A. 垂直 B. 相交 C. 共面 D. 异面
【答案】ABC
【解析】
【分析】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，可判断选项B,C，D，利用基底向量表示出向量，求出，从而可判断选项A,得出答案.
【详解】因为E为BC的中点，则直线AE和BC相交于点，所以选项B,C正确，选项D不正确.
因为E为BC的中点，所以
因为在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，
所以
所以， 故选项A正确.
故选:ABC.
11. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A. B.
C. D. 与斜交
【答案】B
【解析】
【分析】判断与的位置关系，进而可得出结论.
【详解】由已知可得，则，因此，.
故选：B.
12. （多选题）已知直线l过点，平行于向量，平面过直线l与点，则平面的法向量可能是（ ）
A. (1，－4，2) B. C. D. (0，－1，1)
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题可知所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，所以利用向量垂直的判定验证即可
【详解】解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，
而，
选项A，满足垂直，故正确；
选项B，满足垂直，故正确；
选项C，满足垂直，故正确；
选项D，，但，故错误．
故选：ABC
【点睛】此题考查平面的法向量，向量的数量积运算，属于基础题.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且，则m＝________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意运用基底法将进行转化，根据空间向量基本定理得出参数值.
【详解】如图所示，可得，
又因为，
所以.
故答案为:
14. 设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据时，它们的法向量共线，列出方程求出的值．
【详解】平面的法向量为，平面的法向量为，
当时，存在，使得，
解得：，．
故答案为.
【点睛】本题考查空间向量的坐标表示与共线问题，考查基本运算求解能力，属于基础题．
15. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________
.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，再用夹角公式计算.
【详解】不妨设CB＝1，建立如下的空间直角坐标系，
则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1).
∴.
∴.
故答案为：
16. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________，的最小值为________.
【答案】 ①. 平行 ②.
【解析】
【分析】根据题意建立合适的空间直角坐标系，通过设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，找出参数间的关系，得到，，根据空间向量共线定理即可判断；写出的表达式，根据二次函数性质求解最小值即可.
【详解】①以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
A1(1,0,1)，E，B(1,1,0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，
所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，
则，
因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E，
所以，解得，
所以，，
显然，PQ与BD的位置关系是平行.
②由①可知：，.
所以|
根据二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为.
故答案为:①平行;②
四.解答题(本大题共6小题，共70分)
17. 已知向量，，，求：
（1）向量的坐标；
（2）与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据可得存在，使得，可求出，根据可得，可求出，即求出坐标；
（2）求出和的坐标，利用向量夹角公式即可求出.
【小问1详解】
，存在，使得，即，
则，解得，
又，，可得，
所以；
【小问2详解】
可得，
设与的夹角为，
则.
18. 如图所示，在空间图形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=∠BCD=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，且PB=4PM，∠PBC=30°，求证:CM∥平面PAD.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据图形建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，再求得平面PAD的一个法向量=(x，y，z)，证明·=0即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
∵∠PBC=30°，PC=2，
∴BC=2，PB=4，
∴D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，2，0)，P(0，0，2)，
∵PB=4PM，∴PM=1，M0，，
∴0，，=(-1，0，2)，=(3，2，0)，
设平面PAD的一个法向量=(x，y，z)，则
即令x=1，解得y=-，z=，
故1，-，
又∵·0，·1，-=0，
∴⊥，又CM 平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
【点睛】本题主要考查空间向量法证明线面平行问题，还考查了数形结合的思想，属于中档题.
19. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD AB//CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.
（1）求证：BM//平面ADEF；
（2）求证：BC⊥平面BDE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，然后可得，即可证明；
（2）利用向量证明BC⊥DB，BC⊥DE即可.
【详解】∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)
（1）∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)
则＝(－2，0，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)
∴，故共面
又平面ADEF，∴平面ADEF
（2）＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
∵＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.
又＝0，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，DB，DE 平面BDE，∴BC⊥平面BDE.
【点睛】本题考查的是空间中平行与垂直的证明，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
20. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离.
【答案】.
【解析】
【分析】先证明平面AB1O1平面BC1O，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离，以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用向量法求点O1到平面BC1O的距离，从而可得答案.
【详解】如图，连接OO1，则，且
所以四边形为平行四边形，所以AO1OC1，
平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，
又OBO1B1，
平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，
又AO1O1B1＝O1，所以平面AB1O1平面BC1O.
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.
根据题意，OO1⊥底面ABC，，两两垂直.
则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵O(0,0,0)，，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，
设为平面BC1O的法向量，则
即取可得
点O1到平面BC1O的距离记为d，
则d＝＝＝.
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.
21. 如图，在空间直角坐标系D xyz中，四棱柱ABCD A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，求二面角B1 A1B E的余弦值．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量法求二面角B1 A1B E的余弦值．
【详解】设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)， ＝(0,2，－2)．
因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)．所以 ＝(－1,1,0)．
设＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，
则 ，
取x＝1，则y＝z＝1.
所以平面A1BE的一个法向量为＝(1,1,1)．
又DA⊥平面A1B1B，
所以＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量．
所以cos.
又二面角B1 A1B E为锐二面角，所以二面角B1 A1B E的余弦值为.
【点睛】(1)本题主要考查二面角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）
22. 如图所示， 已知几何体EFG－ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上.
（1）求证：BM⊥EF；
（2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点M位于DG上，且.
【解析】
【分析】（1）由题意可得两两垂直，所以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，由于点M在边DG上，所以可设M(0,0，t)(0≤t≤1)，表示出和，只要计算出·＝0，即可得结论，
（2）假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°，利用空间向量求出点M的坐标即可
【详解】(1)证明 因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC，AD⊥CD，
又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).
因为点M在边DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1).
可得＝(1,1，－t)，＝(－1,1,0)，
所以·＝1×(－1)＋1×1＋(－t)×0＝0，
所以BM⊥EF.
(2)解：假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
设平面BEF的法向量为，
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
所以
所以
令z＝1，得x＝y＝1，所以为平面BEF的一个法向量，
所以，
因为直线MB与平面BEF所成的角为45°，
所以，
所以，解得t＝－4±3.
又0≤t≤1，所以t＝3－4.
所以存在点M(0,0,3－4).
当点M位于DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.
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