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1.4.2.1 距离问题
知识要点】
知识点一 点P到直线 l 距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为(如图).
知识点二 点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图).
【公式概念应用】
1. 空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】，，中点，则点B到的中点P的距离为
，故选D.
2. 已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（ ）
A. 5 B. 14 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】∵＝(－2，－6,2)，·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14 ，|n|＝5，
∴点P到直线l的距离为d＝＝.
3. 已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________.
【答案】5
【解析】
4. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意算出，根据向量是平面的一个法向量，算出向量在上的投影的绝对值，即可得到到的距离.
【详解】解：根据题意，可得
，
，
又平面的一个法向量，点A在内，
到的距离等于向量在上的投影的绝对值，
即
故答案为:
【点睛】本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离；着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题.
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1.4.2.1 距离问题
学习目标：
1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.
2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．
方法要点：
1. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
（1）求直线的方向向量．
（2）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
（3）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2. 用向量法求点面距的步骤
（1）建系：建立恰当的空间直角坐标系．
（2）求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
（3）求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
（4）求距离d＝.
典型例题：
题组一、点到直线的距离
1. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，求点到直线的距离．
【答案】
【解析】
【分析】求出的值，进而可求得的值，由此可得出点到直线的距离为，即为所求.
【详解】因为，，，所以、、，
，，，
，
因此，点到直线的距离为.
2. 已知在正方体中，边长为2，分别是的中点，求点到的距离．
【答案】
【解析】
【分析】求点到的距离，可以先求出的长度，借助向量求出在上的投影，然后用勾股定理求出到的距离
【详解】解：以点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：
因为正方体边长为2, 则, , , 则, .
, ,
在上的投影长为.
所以点到的距离.
题组二、点到平面的距离与直线到平面的距离
3. 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点到平面的距离；
（2）利用，可得直线到平面的距离也即是点到平面的距离．
【详解】解：（1）建立如图坐标系，则， ， ， ，
，，
设平面的法向量为，，，
则
故，2，，
点到平面的距离；
（2）
直线到平面的距离也即是点到平面的距离
又，
点到平面的距离为．
所以直线到平面的距离为.
【点睛】本题考查点到平面的距离、直线到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
4. 如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
【答案】2
【解析】
【分析】设正四棱柱的高为h(h>0)，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出、、的坐标，设平面AB1D1的法向量为＝(x，y，z)，进而由可求出法向量的坐标，最后根据点C到平面AB1D1的距离为d＝求出的值即可得答案.
【详解】解：设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，
所以有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，
则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)，
设平面AB1D1的法向量为＝(x，y，z)，
则，即，取z＝1，得＝(h，h，1)，
所以点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝，解得h＝2，
故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.
当堂检测：
5. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.
【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），
＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），
∴点A到直线BC的距离为：
d＝
＝1×＝．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.
6. 若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】解：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)..
设平面ABC的一个法向量为，由得：.
令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离.
故选：.
【点睛】本题考查空间中点到平面的距离，关键考查运算能力，属于基础题.
7. 在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，
利用向量的距离公式，即可求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8. 已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量=(1，0，-1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为____.
【答案】
【解析】
【分析】根据与l垂直，利用空间向量点P到l的距离公式，由求解.
【详解】因为=(-2，0，-1)，又与l垂直，
所以点P到l的距离为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量法求点到直线的距离，属于基础题.
9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，则点A到平面EFG的距离为____.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，根据空间向量的运算求得点到平面的距离.
【详解】
建系如图，则A(2，0，0)， E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以=(0，1，0)，=(-2，1，1)，=(-1，-1，2)，
设是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，
则所以所以令z=1，
此时，所以d=，即点A到平面EFG的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了空间向量在求点到平面距离中的基本应用，属于中档题.
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1.4.2.1 距离问题
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 平面的一个法向量，在内，则到的距离为（ ）
A. 10 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点到平面的距离的向量公式求解.
【详解】，
则点到平面的距离.
故选：D
2. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，先求夹角的余弦，再求点A到直线BE的距离.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．
∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.
故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.
故答案为B
【点睛】本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
3. 如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（ ）
A. 5 B. 8 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，先根据，即求出法向量，然后由向量法求点到面的距离公式可得点B1到平面A1BCD1的距离，又B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离.
【详解】解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为＝(a，b，c)，
则C(0，12，0)，D1(0，0，5),,，
由，得，
所以a＝0，b＝c，取＝(0，5，12)，
又＝(0，0，－5)，
所以点B1到平面A1BCD1的距离为，
因为B1C1∥BC，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1，
所以B1C1∥平面A1BCD1，
所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离，
所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为，
故选：C.
4. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
（1）求点M到直线AC1的距离；
（2）求点N到平面MA1C1的距离．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，
（1）用向量法求点M到直线AC1的距离；
（2）用向量法求点N到平面MA1C1的距离．
【详解】由题意，分别以为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
（1）直线AC1的一个单位方向向量为，，
故点M到直线AC1的距离.
（2）设平面MA1C1的法向量为，
则,即
不妨取x＝1，得z＝2，故为平面MA1C1的一个法向量，
因为N(1，1，0)，所以,
故N到平面MA1C1的距离
.
5. 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°．求点B到直线PD的距离．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，根据线面角的定义有∠PDA＝45°，可得PA＝AD＝4，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在点 E(x，y，z)，使，且BE⊥DP，由可得E(0，4－4λ，4λ)，然后由可得的值，从而可得的坐标，进而可求，即是点B到直线PD的距离．
【详解】解：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，
∴ PA＝AD＝4，AB＝2，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，＝(0，－4，4)，
假设存在点E(x，y，z)，使，且BE⊥DP，
∴ (x，y－4，z)＝λ(0，－4，4)，
∴ x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
∴ 点E(0，4－4λ，4λ)，＝(－2，4－4λ，4λ)，
∵ BE⊥DP，
∴ ＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，解得λ＝，
∴ ＝(－2，2，2)，
∴ ，
故点B到直线PD的距离为．
能力提升
6. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.
【详解】解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，
所以，，,
所以点P到AB的距离．
故选：C.
7. 在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知AB，AD，AP两两垂直, 以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的方法求AD到平面PBC的距离.
【详解】由已知AB，AD，AP两两垂直．
∴以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)．
设平面PBC的一个法向量为＝(a，b，c)，则令a＝1，则＝(1,0,1)．又＝(2,0,0)，∴d＝＝
故答案为：
【点睛】本题主要考查线面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
8. 如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系，
则,则,.设平面ABC1的一个法向量为,则有，不妨设z=1，解得,
则所求距离为
故答案为：.
挑战创新
9. 如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得到直线的距离.
【详解】设的中点为，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，，
所以到直线的距离为.
故答案为：
10. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，
（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，证明，，即可得EF∥MN，AM∥BF，从而可证MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD，再利用面面平行的判定定理即可得证；
（2）因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离，求出平面AMN的法向量，从而可求的答案.
【详解】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．
又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，
平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，
因为MN∩AM＝M，
所以平面AMN∥平面EFBD；
（2）解：因为平面AMN∥平面EFBD，
所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离．
设是平面AMN的法向量，
则有即，可取，
由于＝(0，4，0)，
所以点B到平面AMN的距离为，
所以平面AMN与平面EFBD间的距离为．
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