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3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质
【知识要点】
知识点一双曲线的性质
标准方程 -=1（a>0，b>0） -=1（a>0，b>0）
图形
性质 范围 x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1（-a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a）
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=，e∈（1，+∞），其中c=
a，b，c间的关系 c2=a2+b2（c>a>0，c>b>0）
知识点二等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y=±x，离心率为.
【公式概念应用】
1.判断
1. 双曲线与的形状相同.（ ）
【答案】正确
2. 双曲线与的渐近线相同.（ ）
【答案】错误
3. 椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.（ ）
【答案】错误
4. 双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.（ ）
【答案】错误
5. 双曲线的实轴长是
A. 2 B. C. 4 D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：双曲线方程变形为，所以，虚轴长为
考点：双曲线方程及性质
6. 已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝．
视频
7. 已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ（λ≠0），将点（5，3）代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1.
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3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 双曲线
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由于对称性，我们不妨取顶点，取渐近线为，所以由点到直线的距离公式可得，亦可根据渐近线倾斜角为450得到.
【考点定位】 本题考查了双曲线的渐近线及点到直线的距离公式，如果能画图可简化计算，属于简单题.
视频
2. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】，故，即，故渐近线方程为.
【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.
视频
3. 如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是________．
【答案】6
【解析】
【分析】设F2为右焦点，连接P2F2，由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，从而可求得答案
【详解】由，可得，设F2为右焦点，连接P2F2，
由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
故答案为：6
4. 双曲线(，)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：因为四边形是正方形，所以，所以直线的方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意知，所以，．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
视频
5. 若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程得到焦点坐标、离心率，结合题设求出双曲线的参数，进而写出双曲线方程.
【详解】椭圆4x2＋y2＝64可变形为，
∴a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为，离心率，则双曲线的焦点在y轴上，，
∴，故双曲线的方程为.
故答案为：
能力提升
6. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A. -=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，双曲线的焦距为，即，
又双曲线的渐近线方程为，点在的渐近线上，
所以，联立方程组可得，
所以双曲线的方程为．
考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．
视频
7. 若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（ ）
A. y2－x2＝96 B. y2－x2＝160
C. y2－x2＝80 D. y2－x2＝24
【答案】D
【解析】
【分析】由题设，若双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，由椭圆方程写出焦点坐标，根据曲线共焦点、双曲线参数关系列方程求参数λ.
【详解】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为，
∴λ<0且，得λ＝－24.
故选：D.
8. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
视频
挑战创新
9. 若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）
A. [3-,） B. [3+,） C. [,） D. [,）
【答案】B
【解析】
【详解】由题意可得,,故.
设,则.
关于
对称,故 在上是增函数,当时有最小值为,无最大值,故的取值范围为,
故选B.
视频
10. 已知双曲线
（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围．
【答案】（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.
【详解】（1）当时，
双曲线方程化为，
所以，，，
所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，
渐近线方程为.
（2）因为，
所以，
解得，
所以实数的取值范围是．
【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.
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3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质
学习目标：
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
方法要点：
1.由双曲线的方程研究几何性质
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
2.由双曲线的性质求双曲线的标准方程
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
（2）巧设双曲线方程的技巧
渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）.
3.求双曲线离心率的方法
（1）直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解.
（2）解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0（p，q，r为常数，且p≠0），则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
典型例题：
题组一、由双曲线方程研究其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
变式 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
题组二、由双曲线的几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的方程：
（1）已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（－3，2）；
（2）渐近线方程为y＝±x，且经过点A（2，－3）.
变式 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）过点（2，0），与双曲线－＝1离心率相等.
题组三、求双曲线的离心率
例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
变式 已知F1，F2是双曲线－＝1（a>0，b>0）的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率.
当堂检测：
1. 已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A. 实轴长为8 B. 虚轴长为4
C. 焦距为6 D. 离心率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出双曲线的标准方程，得到a＝4，b＝2，c＝6，即得解.
【详解】解：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
故选：ABD
2. 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A. 4 B. －4 C. － D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的倍列方程，解方程求得的值.
【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C.
【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.
3. 中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出焦点坐标，再根据等轴双曲线求出实半轴长，从而可求题设中的方程.
【详解】设双曲线方程为：，半焦距为.
在直线中，令，得，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴，
故选：A．
4. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率为，化简求得，进而求得双曲线的渐近线方程，得到答案.
【详解】由题意，社区向的中心在坐标原点，离心率为，且焦点在y轴上，
可得＝，则＝＝，整理得＝，解得＝，
所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
5. 已知点在双曲线上，且C的焦距为4，则它的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到和，联立方程组求得的值，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由点在双曲线上，可得，
又由双曲线C的焦距为，可得，则，
联立方程组，解得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
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