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2.1.1 倾斜角与斜率
学习目标：
1.了解直线斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
方法要点：
1.直线倾斜角的概念和范围
（1）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
（2）注意倾斜角的范围．
2.直线的斜率
（1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
（2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．
3．倾斜角和斜率的应用
（1）倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
（2）涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
典型例题：
题组一、直线的倾斜角
例1（1）已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
（2）（多选）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（ ）
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
变式（1）已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
（2）已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
题组二、直线的斜率
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
（1）求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；
（2）求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率．
变式（1）若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为________．
（2）过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
题组三、倾斜角和斜率的应用
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求直线l的倾斜角α的取值范围．
变式：已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
（1）求直线AB和AC的斜率；
（2）若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
当堂检测：
1. （多选）对于下列选项中正确的是（ ）
A. 若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B. 若k是直线的斜率，则k∈R
C. 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D. 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率的定义分析即可得解.
【详解】由倾斜角的范围，可得正确；
由正切函数的值域可得斜率为一切实数，故正确；
任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，
故正确；错误．
故选：．
2. 以下两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）．
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【详解】两点，的横坐标相同，因此过此两点的直线斜率不存在，
故选．
3. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线的斜率公式，由题中条件列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为，
所以，解得.
故选：A.
4. 若三点共线，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据三点共线，可知，由斜率的定义，代入点坐标化简可得关于的方程，解方程即可得到答案
详解：，
三点共线
，即，
解得
点睛：本题是一道关于三点共线的题目，利用直线的斜率相等进行解答，属于基础题，难度不大．
5. 求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中)
【答案】
【解析】
【分析】由题设，讨论时倾斜角α的值或范围，再取并即为α的取值范围.
【详解】由题意，当m＝1时，倾斜角α＝90°；
当时，，即倾斜角α为锐角；
∴综上：．
故答案为：.
答案
例1(1)答案 C
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
(2)答案 AB
解析 根据题意，画出图形，如图所示：
通过图象可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
变式(1)答案 60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)答案 135°
解析 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
例2解 (1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，
即tan α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率k＝.
变式(1)答案 －1
变式(2)答案 1
解析 由斜率公式k＝＝1，得m＝1.
例3解 如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
变式解 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
所以直线AD的斜率的变化范围是.
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2.1.1 倾斜角与斜率
【知识要点】
知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
知识点二 直线的斜率
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α．
2．斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
3．过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
【公式概念应用】
1. 任一直线都有倾斜角，都存在斜率．（ ）
【答案】错误
2. 任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．（ ）
【答案】错误
3. 若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°．（ ）
【答案】错误
4. 经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．（ ）
【答案】错误
5. (多选)下列说法中，错误的是（ ）
A. 任何一条直线都有唯一的斜率
B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】
【详解】解析 A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0，90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错．
6. 已知经过点和点的直线的斜率等于，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题设可得，解之得，应选答案A．
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2.1.1 倾斜角与斜率
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若某直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为直线的斜率，故当时，倾斜角；当时，，倾斜角，故选C
考点：直线的斜率与倾斜角的关系
2. 直线过原点，且不过第三象限，那么的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，可知直线与坐标轴重合或经过二、四象限，分析即得解.
【详解】∵ 直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，可知直线与坐标轴重合或经过二、四象限
∴ l的倾斜角的范围为或，
故选：C
3. 已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
【答案】2或
【解析】
【分析】根据三点共线得AB斜率与BC斜率相等，解方程可得实数a的值.
【详解】因为三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，
所以.
【点睛】本题考查利用斜率研究三点共线，考查基本求解能力.
4. 如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B．l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
【答案】30°
【解析】
【分析】由已知条件结合图形可得∠BCA＝30°，再由l3平分∠BAC，可求出l3的倾斜角
【详解】因为直线l1的倾斜角为150°，l2⊥l1，所以∠BCA＝30°，
因为l3平分∠BAC，
所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°．
故答案为：30°
5. 过两点，的直线的倾斜角为，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得直线的斜率为，利用斜率公式列方程即可求解.
【详解】依题意可得，直线的斜率为，
又直线过两点，，
所以，
整理可得：，
所以，解得：，
所以的值为.
能力提升
6. 已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，观察可得.
【详解】
如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故.
故直线的斜率的最大值为2．
故选：A.
7. 若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用，，三点能构成三角形，可知 ，，三点不共线，利用，即可求得的值.
【详解】因为，，三点能构成三角形，所以，，三点不共线，
所以
即 ，
因此，解得.
故实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由两点坐标求两点所在直线的斜率，属于基础题.
8. 若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是________．
【答案】k1【解析】
【分析】直线倾斜角为钝角时斜率为负值，倾斜角为锐角时斜率为正值，而当直线的倾斜角为锐角时倾斜角越大斜率越大.
【详解】由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大．∴k1故答案为：k1挑战创新
9. 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
【解析】
【分析】直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA，然后根据已知条件求出直线PB与PA的斜率即可
【详解】解：∵直线l与线段AB有公共点，
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA．
∵，
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
10. 点在函数的图像上，当时，求的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】由的几何意义是过两点的直线的斜率且点M在线段上运动，可求两端点处斜率，利用数形结合可求最值.
【详解】的几何意义是过两点的直线的斜率，点M在线段上运动，易知当时，，此时与两项连线的斜率最大，为；
当时，，此时与两点连线的斜率最小，为.,即的取值范围为
【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角与斜率的关系，数形结合的思想，属于中档题.
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