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3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质
【知识要点】
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0，1)
公式概念应用】
1判断
1. 椭圆 (a>b>0)的长轴长是a.（ ）
【答案】错误
2. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为（ ）
【答案】错误
3. 离心率相同的椭圆是同一个椭圆．（ ）
【答案】错误
4. 设F为椭圆 (a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．（ ）
【答案】正确
5. 椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（ ）
A. (－1，0)，(1，0) B. (－6，0)，(6，0)
C. (－，0)，(，0) D. (0，－)，(0，)
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
6. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，故选C.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.
7. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是（ ）
A. B. ＋＝1
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】由＋＝1可知，
所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；
再将点(4，0)分别代入B，D检验可知，只有D选项符合题意．
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3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质
1. 焦点在轴上，长、短半轴长之和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得出关于、、的方程组，解出、的值，由此可求得椭圆的标准方程.
【详解】由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为.
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题.
2. （2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3. 若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用条件及椭圆的几何性质易求.
【详解】依题意，得b＝3，a－c＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为.
故答案为：.
4. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足，则长轴长的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将用表示出来，然后根据的范围求解即可得到结论．
【详解】∵b＝1，
∴，
又，
∴，
∴，整理得，
解得．
∴，
∴长轴长的取值范围为．
故答案为．
【点睛】本题考查椭圆中基本量间的运算，解题时注意灵活运用和间的关系，属于基础题．
5. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为
考点：椭圆的定义及几何性质
视频
6. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2.
∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
7. 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的半径为，表示出椭圆上正六边形一个顶点到两个焦点的距离，由椭圆定义得出关系，从而得椭圆离心率．
【详解】设椭圆的两个焦点为，，圆与椭圆交于，，，四个不同的点，
则，，．
根据椭圆定义，得，
所以.
故选：D．
8. 经过点，且与椭圆有相同的离心率的椭圆的标准方程为______________．
【答案】或
【解析】
【分析】设出椭圆方程，代入点的坐标，即可得出椭圆方程．
【详解】设所求椭圆的方程为或，
将点N的坐标代入可得或，
即，，
故所求椭圆的标准方程为或，
即或．
故答案为或
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
9. 已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
视频
10. 设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，
（1）若的周长为16，求；
（2）若，求椭圆的离心率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意可以求得，而的周长为，再由椭圆定义可得.故.（2）设出，则且.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系，从而，，则，故，为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.
（1）由，得.因为的周长为，所以由椭圆定义可得.故.
（2）设，则且.由椭圆定义可得.
在中，由余弦定理可得，即，化简可得，而，故.于是有.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.
考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.
视频
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3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质
学习目标：
1.掌握椭圆几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆几何意义解决相关问题．
方法要点：
1 用标准方程研究几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式．
（2）确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
（3）求出a，b，c.
（4）写出椭圆的几何性质．
2 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
（1）确定焦点位置．
（2）设出相应椭圆的标准方程．
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
（4）写出椭圆标准方程．
3 求椭圆离心率及取值范围的两种方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
（2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
典型例题：
题组一、椭圆的简单几何性质
例1
1. 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
【答案】当0＜m＜4，长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0,)；
当，椭圆的长轴长和短轴长分别是，4，焦点坐标为，顶点坐标为.
【解析】
【分析】转化椭圆方程为，分0＜m＜4，两种情况讨论，结合e＝以及表示出，即得解
【详解】椭圆方程可化为.
（1）当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，
∴e＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0,)，B2(0，)．
（2）当时，a＝，b＝2，c＝，
∴e＝，
∴m＝，∴b＝2，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是，4，焦点坐标为，顶点坐标为.
变式
2. 已知椭圆C1:，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
（1）求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率；
（2）写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆方程可得，,从而求出,即可得其半长轴长,半短轴长为,焦点坐标,再结合公式得出离心率.
(2)根据椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上,
故椭圆C2:=1.再依次列举出其性质即可.
【详解】解:(1)由椭圆C1:=1，可得,焦点在轴上,
所以其半长轴长为10，半短轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(-6，0)，
离心率.
(2)因为椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上,
故椭圆C2:=1.
性质如下:①范围:-8≤x≤8且-10≤y≤10；
②对称性:关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点:长轴端点(0，10)，(0，-10)，短轴端点(-8，0)，(8，0)；
④焦点:(0，6)，(0，-6)；
⑤离心率:e=
【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程,求出,并列举出其性质,考查对椭圆的性质的掌握能力,属于基础题.
题组二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2
3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
（2）过点(3，0)，离心率e＝.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）设椭圆方程为(a>b>0)，然后由已知求得，得椭圆标准方程；
（2）按焦点所在轴分类讨论，当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为(a>b>0)，分别求出得椭圆标准方程．
【详解】（1）依题意可设椭圆方程为(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝，所以＝，
把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为.
综上可知，所求椭圆的标准方程为或
变式
4. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为______________．
【答案】.
【解析】
【分析】由已知条件可得，根据焦点的位置可得答案.
【详解】由题意得，
解得，
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
题组三、求椭圆的离心率
例3
5. 设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，，则C的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可.
【详解】在中，设，因为，所以， .
故 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及离心率的求法，属于基础题.
变式
6. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据可知，转化成关于，，的关系式，再根据，和的关系进而求得和的关系，则椭圆的离心率可得．
【详解】据题意，，，，
，即，即.
又，，同除得，即（舍）或.故选A.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题．
当堂检测：
7. 已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为（ ）
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
【答案】A
【解析】
【分析】由离心率和焦点坐标求得，再求得后可得椭圆方程．
【详解】由题意知c＝3，，
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴椭圆方程为.
故选：A．
8. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用焦点坐标和离心率求得，由此求得椭圆的方程.
【详解】依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且，
因此椭圆的方程是.
故选：C
9. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出，然后求得离心率即可.
【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，
即
所以离心率
故选A
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.
10. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆焦点在轴上，可知，利用长轴长为短轴长的两倍可构造方程，解方程求得结果.
【详解】椭圆方程可化为：
椭圆焦点在轴上 ，
，即 ，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据椭圆方程和几何性质求解参数值的问题，易错点是忽略焦点所在轴，造成求解错误，属于基础题.
11. 已知椭圆的一个顶点是(0，)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程是____________．
【答案】或
【解析】
【分析】由离心率求得，然后按焦点所在轴分类讨论可得．
【详解】是长半轴长，短半轴长，
∵，∴a＝2b，
若椭圆的焦点在x轴上，则b＝，a＝2；
若椭圆的焦点在y轴上，则a＝，b＝.
所以椭圆的标准方程是或.
故答案为：或．
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