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3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用
学习目标：
1.了解椭圆在实际生活中应用.
2.进一步掌握椭圆方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.
方法要点：
1解决和椭圆有关的实际问题的思路（数学抽象）
（1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.
（2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.
（3）用解得的结果说明原来的实际问题.
2直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
3求弦长的两种方法
（1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长.
（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|=·，其中x1，x2（y1，y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.
典型例题：
题组一 实际生活中的椭圆
例1（多选）
1. 中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A. a1+c1=a2+c2 B. a1-c1=a2-c2 C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题设信息可得a1>a2，c1>c2和a1-c1=a2-c2，再结合椭圆长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系即可计算判断作答.
【详解】依题意，椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ有共同的一个顶点P和一个焦点F，则它们的中心都在直线PF上，而椭圆轨道Ⅱ在椭圆轨道Ⅰ内，
于是可得a1>a2，c1>c2，即a1+c1>a2+c2，A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|=a1-c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|=a2-c2，则有a1-c1=a2-c2，B正确；
由a1-c1=a2-c2得a1+c2=a2+c1，则，，即，
令，，其中分别为椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的短半轴长，并且有，
于是有，即，，则，C错误，D正确.
故选：BD
变式
2. 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________ 米．
【答案】32
【解析】
【详解】设椭圆方程为，当点在椭圆上时，，解得车辆高度不超过米，，即拱宽至少，故答案为.
题组二 直线与椭圆的位置关系
例2
3. 已知直线：，椭圆：.试问当取何值时，直线与椭圆：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【答案】（1）（2）（3）或
【解析】
【分析】
先联立直线与椭圆的方程得到,将公共点的个数转化为方程解的个数问题,利用与0的关系进行处理即可
【详解】将直线的方程与椭圆的方程联立,得方程组,消去,整理得①,
,
（1）当,即时,方程①有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实解,这时直线与椭圆有两个不重合的公共点；
（2）当,即时,方程①有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线与椭圆有两个互相重合的公共点,即直线与椭圆有且只有一个公共点；
(3)当,即或时,方程①没有实数根,可知原方程组没有实数解,这时直线与椭圆没有公共点
【点睛】本题考查已知直线与椭圆的位置关系求参数问题,考查转化思想
变式
4. 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
设直线l的方程为y=kx+，联立椭圆方程，利用判别式即可求解.
【详解】由已知条件知直线l的方程为y=kx+，
代入椭圆方程得+(kx+)2=1，
整理得x2+2kx+1=0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0，
解得k<或k>，
所以k的取值范围为.
题组三 弦长问题
例3
5. 已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值．
（1）试求动点的轨迹方程；
（2）设直线：与曲线交于，两点，当时，求直线的方程．
【答案】（1）（）；（2）或
【解析】
【分析】（1）设出P的坐标，利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，建立方程，化简可求动点P的轨迹方程C．
（2）直线l：y＝kx+1与曲线C方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．
【详解】解：（1）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB＝
∴，化简，整理得
故P点的轨迹方程是，（x≠±）
（2）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由得，（1+2k2）x2+4kx＝0
∴x1+x2＝，x1 x2＝0，
|MN|＝，
整理得，k4+k2﹣2＝0，解得k2＝1，或k2＝﹣2（舍）
∴k＝±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y＝±x+1，即：x﹣y+1＝0或x+y﹣1＝0
【点睛】本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
变式
6. 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.
【答案】
【解析】
【分析】结合点斜式，计算出直线l的方程，联解椭圆方程，结合，利用根与系数关系，即可得出答案．
【详解】设A，B两点的坐标分别为，，由椭圆方程知，，
∴，∴，∴直线l的方程为y，
将其代入椭圆方程，并化简整理得
，∴，，
∴|AB|＝·＝·＝.
【点睛】本道题目为一道直线与圆锥曲线关系的综合题，联立联解直线方程和椭圆方程，掌握好，即可．
当堂检测：
7. 过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可推理作答.
【详解】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有
，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.
故选：A
8. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交
【答案】C
【解析】
【分析】
将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系
【详解】解：由，得，化简得，
因为，
所以方程无解，
所以直线与椭圆的位置关系是相离，
故选：C
9. 已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A. 6 B. 15 C. 20 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】由直线AB不垂直y轴，设出直线AB方程，联立直线AB与椭圆方程，求出弦AB长，即可列式推理作答.
【详解】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，
所以△ABF面积的最大值为12.
故选：D
10. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加，可得，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故选ABD
【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.
11. 已知椭圆与直线有公共点，则实数 的取值范围是 _______ .
【答案】
【解析】
【分析】根据直线方程与椭圆方程联立方程组，再根据判别式非负解得结果.
【详解】由，得．
因为直线与椭圆有公共点，所以，
即，解得．
故答案为：．
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3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
1. (多选)若直线与椭圆相切，则斜率的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，联立直线与椭圆方程，整理得，再根据，从而求出斜率的值.
【详解】解：已知直线与椭圆有且只有一个交点，
由消去并整理，得，
由题意知，，
解得：.
故选：A B.
2. 直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.
【详解】由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.
故选：A.
3. 若直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A. m>1 B. m>0
C. 0【答案】D
【解析】
【分析】
求出直线恒过的定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系，代入点的坐标，即可求得结果.
【详解】由于直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则且m≠5，解得m≥1且m≠5.
故选：D
4. 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为_______．
【答案】
【解析】
【详解】椭圆的右焦点（1，0），直线AB的方程为y﹣0＝2（x﹣1），
即 y＝2x﹣2，代入椭圆化简可得3x2﹣5x＝0，
∴x1+x2，x1 x2＝0，∴AB ，
O到直线AB的距离d，故△OAB的面积为 ．
视频
5. 某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群．以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线的标准方程；
（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？
【答案】（1） ；（2）点的坐标为或．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分
又，则，故 5分
所以曲线的方程是 6分
（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，
因此设此时距、两岛的距离分别比为 7分
即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里． 8分
设，，由， 10分
， 12分
13分
点的坐标为或 14分
考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，椭圆与圆的位置关系．
点评：中档题，利用椭圆的定义，明确曲线是椭圆并求得其标准方程为，作为实际问题解决，很好的体现了数学的妙用．
6. 椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A. B. ± C. D. ±
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.
详解：∵椭圆的离心率为
∴
∴
设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.
∴
故选B.
点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.
7. 以为焦点且与直线有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得椭圆的方程为，离心率为，根据直线与椭圆有公共点，联立方程组，根据，求得，得到离心率取得最大值，即可求得椭圆的方程.
【详解】设椭圆的方程为，
根据题意，可得，则，所以，
所以椭圆的离心率为，
因为直线与椭圆有公共点，
联立方程组，整理得，
由，
整理得，解得或（舍去），
所以的最小值为，此时离心率取得最大值，
所以椭圆的方程为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中直线与椭圆联立方程，结合，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8. 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由椭圆方程得到F，O的坐标，设P(x，y)(－2≤x≤2)，利用数量积的坐标运算将·转化为二次函数最值求解.
【详解】由椭圆＋＝1，可得F(－1，0)，点O(0，0)，
设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则·＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3
＝x2＋x＋3
＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当x＝2时， ·取得最大值6.
故答案为：6
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9. 已知椭圆的左焦点为，有一质点A从处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射无论经过几次反射速率始终保持不变，若质点第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆的性质可得，由此即可求得椭圆的离心率．
【详解】假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
球从沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；
球从沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；
球从沿x轴斜向上或向下运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点B，
经反弹后经过点，此时小球经过的路程是4a．
综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，
小球经过的最大路程是4a，最小路程是．
由题意可得，即，得．
椭圆的离心率为．
故选D．
【点睛】本题考查了椭圆的定义及其性质，考查了椭圆的光学性质及应用，考查了分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10. 椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或..
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆经过的点与离心率列出方程组，求出，，即可得到椭圆方程；
（2）斜率不存在时，验证是否满足题意；斜率存在，联立，利用0恒成立，以及韦达定理求出弦长，求解三角形的面积，然后求解直线方程.
【详解】（1）椭圆过点
离心率为
又，
联立方程可得：
解得：
椭圆C的方程.
（2）由（1）知，
①当l的倾斜角是时，l的方程为，
交点，
此时，不合题意；
②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为，
由消去y得：，
设，
则，
又已知
解得
故直线l的方程为
即或.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.
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3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
【知识要点】
知识点 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.
直线与椭圆 解的个数 Δ的取值
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
【公式概念应用】
1. 直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】解析 联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.
2. 直线被椭圆所截得线段的中点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将直线与椭圆联立，消去整理得，然后利用韦达定理求解.
【详解】直线与椭圆联立，得消去整理，得．
设直线与椭圆的交点，中点．
，
∴中点坐标为．
故选：C
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系属于基础题.
3. 椭圆的两个焦点，，过点作垂直于轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意，椭圆左焦点，，
则垂线段，
所以，
故答案为：．
考点：椭圆的定义．
4. 过椭圆＋＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆的面积是________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解析 由题意，在＋＝1中，c＝＝，
故F(，0).
当x＝时，y＝±3＝±，所以|AB|＝，
故以AB为直径的圆的面积是π×2＝.
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