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3.3.1 抛物线及其标准方程
知识点一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0) x＝
x2＝2py(p>0) y＝－
x2＝－2py(p>0) y＝
一.判断
1. 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线（ ）
【答案】错误
2. 抛物线的方程都是二次函数（ ）
【答案】错误
【解析】
【详解】关于y轴对称的抛物线不是函数，故错误
3. 抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离（ ）
【答案】正确
4. 方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线（ ）
【答案】错误
二.选择
5. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线方程，直接写出准线方程即可.
【详解】因为，其为开口向下的抛物线，故其准线方程为.
故选：C.
6. 已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，
所以抛物线焦点坐标为，故答案选
考点：抛物线方程和性质.
视频
7. (多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（ ）
A. y2＝x B. y2＝8x C. y2＝－8x D. x2＝－8y
【答案】AD
【解析】
【分析】
【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
故选：AD
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3.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标：
1.掌握抛物线定义及其焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线方程.
方法要点：
1 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2 抛物线定义的应用
实现距离转化.根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
典型例题：
题组一、求抛物线的标准方程
1. 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
（1）经过点(-3，-1)；
（2）焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
【答案】（1）y2=-x或x2=-9y；（2）x2=-12y或y2=16x.
【解析】
【分析】
（1）设出抛物线方程，根据点求得抛物线方程.
（2）求得焦点坐标，由此求得，进而求得抛物线方程.
【详解】（1）因为点(-3,-1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)，则由(-1)2=-2p×(-3)，解得p=；
若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)，则由(-3)2=-2p×(-1)，解得p=.
故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.
（2）对于直线方程3x-4y-12=0，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4；所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时=3，所以p=6，此时抛物线的标准方程为x2=-12y；
当焦点为(4,0)时，=4，所以p=8，此时抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
2. 求焦点在轴上，焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程为____________.
【答案】和
【解析】
【分析】设抛物线的标准方程为，根据已知条件求出的值，即可得出所求抛物线的标准方程.
【详解】设抛物线的标准方程为，则该抛物线的焦点到准线的距离为，得，
因此，所求抛物线的标准方程为和.
故答案为：和.
题组二、抛物线定义的应用
3. 已知抛物线的焦点为是C上一点，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．
【详解】由抛物线可得，
准线方程，
，是上一点，，．
，
解得．
故选：B．
视频
4. 设点的坐标为，点在抛物线上移动，到直线的距离为，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由抛物线的定义转化所求的距离和，再根据两点之间线段最短求最值.
【详解】点到准线的距离为，于是，
所以的最小值为．
故选C.
【点睛】本题考查抛物线的定义和两线段之和最值，属于中档题.
5. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是
A. y2=﹣8x B. y2=8x C. y2=﹣4x D. y2=4x
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．
解：∵准线方程为x=﹣2
∴=2
∴p=4
∴抛物线的方程为y2=8x
故选B
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．
视频
6. 已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为
A. （1,0） B. C. D. （0,1）
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦点坐标的一般形式，求出后可得焦点的坐标.
【详解】根据抛物线标准方程得到 ， ，焦点坐标为 ，代入可得焦点坐标为 ，将点代入抛物线方程得到，
故最终得到焦点坐标为.
故选：C.
7. 准线为的抛物线标准方程是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】准线为的抛物线标准方程是，选A.
8. 一动圆过点(0，1)且与定直线l相切，圆心在抛物线上，则l的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线方程可求得其焦点坐标，要使圆过点且与定直线相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线，进而根据抛物线方程求得准线方程即可．
【详解】根据抛物线方程可知抛物线焦点为，
定点为抛物线的焦点，
要使圆过点且与定直线相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线其方程为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及过抛物线焦点的直线的问题时，常借助抛物线的定义来解决．
9. 若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.
【答案】(－9,6)或(－9，－6)
【解析】
【分析】利用抛物线的定义结合条件列方程求p，再求点M的坐标.
【详解】由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，
设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)，
故答案为：(－9,6)或(－9，－6)
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3.3.1 抛物线及其标准方程
1. 若抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.
【详解】椭圆的上顶点是
抛物线的焦点
因为两点重合
所以
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2. 若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
3. 若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值是__________．
【答案】3
【解析】
【详解】因为抛物线的焦点坐标是,所以,应填答案．
4. 在抛物线上，与焦点的距离等于的点的坐标是____________.
【答案】或
【解析】
【分析】所求点为，求出准线方程，根据抛物线的定义列方程可得求出的值，再代入抛物线方程求出，即可求解.
【详解】由方程，知焦点，准线，
设所求点为，则由定义知，
又因为，所以，可得，
代入，得.
所以所求点的坐标为或，
故答案为：或.
5. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将圆心坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出抛物线的标准方程，即可求得该抛物线的焦点坐标和准线方程.
【详解】圆的圆心为(，将圆心坐标代入方程得，
将抛物线的方程化为标准方程得，
故抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
故答案为：；.
6. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】抛物线的焦点坐标为,准线方程为，因为抛物线上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线 的距离是5.
则点P到x轴的距离是4，所以的面积为，故选B.
7. 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则________.
【答案】6
【解析】
【分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由，可得x1＋x2＋x3＝3，再根据半焦径公式即可得解.
【详解】解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)，
由，即，
所以(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
x1＋x2＋x3＋p＝6.
故答案为：6.
8. 已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线定义求出，再计算出，根据直线垂直，利用斜率之积为求解.
【详解】根据抛物线的定义得，代入
解得p＝8，故，代入M(1，m)，
解得m＝±4，
不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，
由双曲线知其渐近线
由已知得－×2＝－1，
解得.
故答案为：
9. 对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2=10x的是____________.(要求填写适合条件的序号)
【答案】②④
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质和定义判断可得答案.
【详解】解：抛物线y2=10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
设M(1，y0)是y2=10x上一点，则|MF|=1+=1+≠6，所以③不满足；
由于抛物线y2=10x的焦点为，设过该焦点的直线方程为y=k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k=-2，所以④满足.
故答案为：②④.
10. 设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线的距离为，求的最小值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）4.
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义可知，将问题问题转化为求的最小值，即求.
（2）判断点B在抛物线的内部，过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点，利用抛物线的定义求解即可.
【详解】解析（1）依题意，抛物线的焦点为，准线方程为.
由已知及抛物线的定义，可知，
于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知，
当F，P，A三点共线时，取得最小值，
最小值为，即的最小值为.
（2）把点B的横坐标代入中，得，
因为，所以点B在抛物线的内部.
过B作垂直准线于点Q，交抛物线于点（如图所示）.
由抛物线的定义，可知，
则，
所以的最小值为4.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，理解定义是解题的关键，属于基础题.
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