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3.2.1 双曲线及其标准方程
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A. 3或7 B. 6或14 C. 3 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由为的中点，且为的中点，可得是的中位线，即，利用双曲线的定义求出，可得答案．
【详解】设双曲线的右焦点为，则是的中位线，
，
或6，或3.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
2. (多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（ ）
A. 2 B. －1 C. 4 D. －3
【答案】AB
【解析】
【分析】设双曲线方程为，由题意可得，由双曲线的定义可得|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，从而可求出的范围，进而可得答案
【详解】设双曲线的方程为，则c＝3，
∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，
∴，且，∴AB满足条件．
故选：AB
3. 若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】将双曲线的方程转化为标准方程，由题意可得m＞0且2-m<0，解不等式即可得到所求范围
【详解】曲线C：mx2+（2-m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，
可得即有m＞0，且2-m<0，
解得m＞2．故答案为（2，+∞）．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查运算能力，属于基础题.
4. 求以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点A（4，﹣5）的双曲线的标准方程_____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：中短轴的端点为 ，所以双曲线中焦点为 ，点 A（4，﹣5）到两焦点的距离之和为，所以双曲线方程为
5. 已知的顶点，分别为双曲线左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得,，再利用正弦定理进行求解即可.
【详解】解：由题意得,，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，结合了正弦定理的应用，属于中档题.
能力提升
6. 动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A. 双曲线的一支 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
【答案】A
【解析】
【分析】
设动圆圆心为M，半径为r，根据两圆相外切推出|MO2|-|MO1|=1<|O1O2|，即可判断轨迹.
【详解】设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|=r+1，|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1<|O1O2|=4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
故选：A.
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系和双曲线的定义，属于基础题.
7. 已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【详解】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．
视频
8. 已知F是双曲线C：x2=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线方程求出焦点的坐标，由垂直求出点坐标，再求出到直线的距离，由三角形面积公式可得面积．
【详解】因为F是双曲线C：x2=1的右焦点，所以F(2，0).因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP).因为P是C上一点，所以4=1，解得yP=±3，所以P(2，±3)，|PF|=3.又因为A(1，3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=.
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线中三角形面积问题，解题方法是解析几何的基本方法，求点坐标得三角形一边长，求点到直线距离得三角形的高，计算面积．
挑战创新
9. 光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆与双曲线（，）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.
【详解】由已知，如图光线从出发，若先经过双曲线上一点反射，则反射光线相当于光线从设出经过点再到达椭圆上一点反射回到；
同理，若先出发经过椭圆上一点反射，则光线沿着直线方向到达双曲线上一点反射后回到，则可知，光线从出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回，则讨论光线反射两次后返回的过程如图，
，
所以光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为
故答案为：
【点睛】本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题.
10. 已知的一边的两个顶点、，另两边的斜率之积等于．求顶点的轨迹方程，并且根据的取值情况讨论轨迹的图形．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】设顶点，根据已知条件可得出顶点的轨迹方程，并化为标准方程，讨论的取值，由此可得出轨迹的图形.
【详解】设顶点的坐标为，则，，
因为，则有，即，
当时，轨迹是中心在原点，焦点在轴上的双曲线（除去与轴的两个交点）；
当时，轨迹是中心在原点，焦点在轴上的椭圆（除去与轴的两个交点）；
当时，轨迹是中心在原点，焦点在轴上的椭圆（除去与轴的两个交点）；
当时，轨迹是圆心在原点，半径为的圆（除去与轴的两个交点）.
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3.2.1 双曲线及其标准方程
【知识要点】
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
知识点二 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
公式概念应用】
1判断
1. 平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．（ ）
【答案】错误
2. 平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线．（ ）
【答案】错误
3. 双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a> b．（ ）
【答案】错误
4. 在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．（ ）
【答案】错误
5. 设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据课本中所给定义可得到轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c＝5，a＝3，∴b＝4，进而得到方程.
【详解】由题意得动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6,知轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c＝5，a＝3，∴b＝4，∴点P的轨迹方程是.
故答案为：D.
【点睛】求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
6. 双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：双曲线方程变形为焦点为
考点：双曲线方程及性质
视频
7. 已知双曲线的焦点在轴上，若焦距为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的标准方程为（其中）.又因为焦距为，所以.所以.
故本题正确答案为D.
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3.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标：
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
方法要点：
1 双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
2 求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线．
典型例题：
题组一、双曲线的定义的应用
例1
1. 已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
【答案】x2－＝1
【解析】
【分析】由已知可得解方程组求出的值，从而可得双曲线的方程
【详解】由题意得
解得
则该双曲线的方程为x2－＝1.
故答案为：x2－＝1
变式
2. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的定义运算即可得解.
【详解】由双曲线的定义得，即，
因为，所以.
故选：B.
题组二、求双曲线的标准方程
例2
3. 以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
【答案】－＝1
【解析】
【分析】由已知得双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，代入已知点，解之可得答案.
【详解】由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
故答案： －＝1.
变式
4. 焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出双曲线的标准方程，代入点求出即可求解.
【详解】设双曲线方程为，
将点(4，－2)和 代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
当堂检测：
5. 已知，动点P满足，则P点的轨迹是
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 直线 D. 一条射线
【答案】D
【解析】
【分析】利用，从而可以判断点轨迹是一条射线
【详解】由于，即，
所以点轨迹是一条射线，
故选：．
【点睛】本题考查双曲线的定义，应注意定义中的条件，否则会出错．
6. 方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义以及双曲线方程的标准形式可知与同号列不等式即可求解.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，
即，
解得：.
故选：A.
7. 椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值是（ ）
A. B. 1或-2 C. 1或 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线方程形式，利用焦点相同，列式求a的值.
【详解】由条件可知，，双曲线的焦点在轴，所以椭圆的焦点也在轴，
所以，解得：或（舍）
故选：D
8. “0≤k<3”是“方程＋＝1表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程＋＝1表示双曲线求出k的范围，再根据充分性和必要性的定义即可得出结论.
【详解】解：∵0≤k<3，∴，∴方程＋＝1表示双曲线；
反之，∵方程＋＝1表示双曲线，∴(k＋1)(k－5)<0，解得－1故“0≤k<3”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：A.
9. 已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
【答案】－y2＝1
【解析】
【分析】由已知可得从而可求出(|PF1|－|PF2|)2＝16，由双曲线的定义可求出，而c＝，，可求出，进而可求得双曲线的方程
【详解】由题意得
(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝，所以b＝1，
故双曲线的方程为－y2＝1.
故答案为：－y2＝1.
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