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3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
学习目标：
1.了解双曲线在实际生活中的应用.
2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用.
方法要点：
1.直线与双曲线
（1）位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况).
（2）弦长公式
设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|
＝·.
2.和双曲线有关的轨迹
（1）定义法.解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线.
（2）直接法.根据点满足条件直接代入计算
典型例题：
题组一、直线与双曲线的位置关系
例1 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
（1）若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.
变式 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2，3).
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长.
二、与双曲线有关的轨迹问题
例2 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离是1 020 m.则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)( )
A.北偏西45°方向，距离680 m
B.南偏东45°方向，距离680 m
C.北偏西45°方向，距离680 m
D.南偏东45°方向，距离680 m
变式 若动圆P经过定点A(3，0)，且与定圆B：(x＋3)2＋y2＝16外切，试求动圆圆心P的轨迹.
当堂检测：
1. 已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：因为双曲线方程为，所以是双曲线的右顶点，所以过并且和轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条.
考点：本小题主要考查了直线与双曲线的位置关系.
点评：考查双曲线与直线的位置关系时，不要忘记和双曲线的渐近线进行比较,而且还要记住只有一个交点不一定是相切.
2. 若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为（ ）
A. (－2，2) B. [－2，2)
C. (－2，2] D. [－2，2]
【答案】A
【解析】
【分析】由直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则，联立方程，消元的一元二次方程，则，从而可得答案.
【详解】解：因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则，
将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由，解得－2
故选：A.
3. 过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】求过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线的方程，求双曲线的渐近线，联立方程组求A，B两点的坐标，由此可得|AB|.
【详解】由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，所以|AB|＝4.
故选：D.
4. 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为（ ）
A. x2－y2＝6 B. x2－y2＝9
C. x2－y2＝16 D. x2－y2＝25
【答案】B
【解析】
【分析】根据等轴双曲线的方程特点设所求的双曲线方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与直线y＝x联立求A，B的坐标，利用弦长公式求|AB|,结合关系|AB|＝2列方程求a，由此可得双曲线方程.
【详解】设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，
故选B.
5. 已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点点坐标，代入圆的方程，即可求得的值．
【详解】解：设点，，，，线段的中点，，
由，得（判别式△，
，，，
点，在圆上，则，故.
故答案为：
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第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
【知识要点】
知识点一 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
（1）当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点.
（2）当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有0个公共点.
知识点二 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
【公式概念应用】
1. 已知双曲线的两个焦点分别为，，P是双曲线上的一点，且，则双曲线方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由，.又因为.所以，又.所以双曲线的方程是.故选B.
考点：1.双曲线的性质.2.方程的思想.
2. 过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________.
【答案】
3. 经过双曲线的左焦点F1作倾斜角为的直线AB，分别交双曲线的左、右支为点A、B．求弦长|AB|=_____
【答案】3
【解析】
【分析】直线AB的方程可设为，联立方程，利用弦长公式可得结果.
【详解】∵双曲线的左焦点为F1（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程可设为，代入方程得，8x2﹣4x﹣13＝0，
∴，
∴.
故答案为：3.
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3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是( )
A. 4 B. 2
C. 1 D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的图形及性质，求出t的范围，即可得到选项．
【详解】在中，，
当或时，均只有一个交点，
当时，有两个交点，
当时，无交点．
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
2. “直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】若直线与双曲线有唯一交点，则直线与双曲线的渐近线平行，或直线与双曲线相切；若直线与双曲线相切，则直线与双曲线有唯一交点.故选B
3. 等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A. a＝1 B. 0C. a>1 D. a≥1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知双曲线的渐近线方程与直线y＝ax(a>0)的关系，进而求出a的取值范围.
【详解】等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，
且双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，
.
故选：D
4. 直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由双曲线与直线联立可 ，因为直线 与双曲线交于不同的两点，所以 可得 ，斜率的取值范围是，故选C.
5. 设点F1，F2分别是双曲线C:的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y=± B. y=± C. y=± D. y=±
【答案】D
【解析】
【详解】设，则，
∴，
∴，
∴．
又，
∴，
∴，
∴．
∴该双曲线的渐近线方程为．选D．
点睛：
双曲线的渐进线是双曲线的重要性质之一，也是高考的常考点，题型一般以选择题或填空题为主．求双曲线的渐近线方程时，可利用转化为关于的方程或不等式，其中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，即
．
能力提升
6. 已知直线与双曲线交于，两点，则的取值范围是____________．
【答案】且
【解析】
【分析】联立直线与双曲线方程消，由二次项系数不等于且判别式即可求解.
【详解】由得，
因为直线与双曲线相交于两点，
所以解得：且
所以的取值范围是：且，
故答案为：且.
7. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
【答案】[2，＋∞)
【解析】
【分析】
根据直线与渐进线的关系得到，再计算离心率范围得到答案.
【详解】过的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于的倾斜角
已知的倾斜角是60°，从而，故.
故答案为：[2，＋∞)
【点睛】本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力.
8. 双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行线的性质求出斜率，由点斜式求出直线方程，然后求出交点坐标，由三角形面积公式可得结果.
【详解】双曲线的右顶点，右焦点，
，所以渐近线方程为，
不妨设直线FB的方程为，
将代入双曲线方程整理，得，
解得，，
所以，
所以
故答案为：.
挑战创新
9. 设双曲线上有两点，，中点，则直线的方程为________________．
【答案】
【解析】
【分析】设，，则，，利用点差法可求出直线的斜率，再由点斜式可得直线的方程.
【详解】设，，则，，
则 ，两式相减得，
，
所以直线的方程为即，
代入满足，所以直线的方程为.
故答案为：.
10. 已知直线与双曲线.
（1）若，求与相交所得的弦长；
（2）若与有两个不同的交点，求双曲线的离心率的取值范围.
【答案】（1）；（2）且.
【解析】
【详解】试题分析：（1）时，联立直线与双曲线方程，消元得：，由根与系数的关系，代入弦长公式计算即可得出（2）联立直线与双曲线方程，消元后得：，因为有两个不同的交点，所以，解得，双曲线的离心率且，所以且．
试题解析：（1） ，弦长为；
（2），
且，
，所以且，
且．
点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系及双曲线的简单几何性质，属于中档题．解决本题时要利用直线和圆锥曲线的位置关系及弦长公式即可；当研究直线与双曲线交点个数时，要使用判别式，从而求参数的范围，再利用离心率定义处理．
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