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第三章章末复习
学习目标：
1.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算 直观想象的数学素养.
2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养.
3.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养.
4.圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养.
方法要点：
1.求圆锥曲线方程的常用方法
（1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程.
（2）定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.
（3）代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
（4）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数.
2求解离心率的三种方法
（1）定义法：由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆（双曲线）的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2（a2+b2=c2）以及e=，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
（2）方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
（3）几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的定义 几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象 直观.
典型例题：
题组一 圆锥曲线的定义及标准方程
例1已知动点M的坐标满足方程5=|3x+4y-12|，则动点M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
变式点P是抛物线y2=8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是（2，3），求|PM|+|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标.
题组二 圆锥曲线的几何性质
例2如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二 四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A. B. C. D.
变式已知椭圆+=1（a>b>0）的半焦距是c，A，B分别是长轴 短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则此椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
题组三 直线与圆锥曲线的位置关系
例3已知椭圆+=1（a>b>0）经过点（0，），离心率为，左 右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程.
变式已知椭圆E：+=1（a>b>0），其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x+2y-2=0与x轴，y轴分别交于点A，B.
（1）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
（2）若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a，求a的取值范围.
题组四 圆锥曲线的综合问题
例4已知抛物线C：y2=2px（p>0）经过点P（2，2），A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点.
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值.
变式已知动圆P与圆O1：x2-x+y2=0内切，且与直线x=-1相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上一点M（2，y0）（y0>0）作两条直线l1，l2与曲线C分别交于不同的两点A，B，若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1.证明：直线AB过定点.
当堂检测：
1. 双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A. 2sin40° B. 2cos40° C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得，
，故选D．
【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混．
2. 若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
3. 已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
4. 已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；
因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.
（Ⅱ）设
联立得，
，，.
直线，令得，即；
同理可得.
因为,所以；
，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
答案
1.答案C
解析把轨迹方程5=|3x+4y-12|写成=.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x+4y-12=0的距离相等.
∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.
解抛物线y2=8x的准线方程是x=-2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离，过点P作PD垂直于准线x=-2，垂足为D，那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
如图所示，
根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|+|PF|的值最小，
且最小值为|MD|=2-（-2）=4，
所以|PM|+|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.
2.答案D
解析由椭圆可知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2.因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12，
所以2|AF1||AF2|=（|AF1|+|AF2|）2-（|AF1|2+|AF2|2）=16-12=4，
所以（|AF2|-|AF1|）2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|=12-4=8，
所以|AF2|-|AF1|=2，
因此对于双曲线有a=，c=，
所以C2的离心率e==.
答案A
解析ab=c2，即a2（a2-c2）=12c4，
所以（a2+3c2）（a2-4c2）=0，所以a2=4c2，a=2c，
故e==.
3.解（1）由题设知
解得a=2，b=，c=1，
∴椭圆的方程为+=1.
（2）由（1）知，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，
∴圆心到直线l的距离d=，
由d<1得|m|<.（*）
∴|CD|=2=2=.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得x2-mx+m2-3=0，
由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3.
∴|AB|=
=.
由=，得=1，
解得m=±，满足（*）.
∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.
解（1）由椭圆的离心率为，得a=c，
由A（2，0），得a=2，
∴c=，b=，
∴椭圆方程为+=1.
（2）由e=，设椭圆方程为+=1，
联立得6y2-8y+4-a2=0，
若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a，
则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2-8y+4-a2=0在y∈[0，1]上有解.
设f（y）=6y2-8y+4-a2，
∴即
∴≤a2≤4，
故a的取值范围是.
4.解（1）由抛物线C：y2=2px经过点P（2，2）知4p=4，解得p=1.
则抛物线C的方程为y2=2x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x=-.
（2）由题意知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x=ty+a，
由消去x，得y2-2ty-2a=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2t，y1y2=-2a.
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即+y1y2=0，
解得y1y2=0（舍去）或y1y2=-4.
所以-2a=-4，解得a=2.
所以直线AB：x=ty+2.
所以直线AB过定点（2，0）.
S△AOB=×2×==≥=4.
当且仅当y1=2，y2=-2或y1=-2，y2=2时，等号成立.
所以△AOB面积的最小值为4.
（1）解由题意可知，动圆圆心P到点的距离与到直线x=-的距离相等，所以点P的轨迹是以为焦点，直线x=-为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2=2x.
（2）证明易知M（2，2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+b，
联立得y2-2my-2b=0，
所以
所以
因为k1k2=·=1，
即y1y2-2（y1+y2）=x1x2-2（x1+x2），
所以b2-2b-4m2+4m=0，
所以（b-1）2=（2m-1）2，
所以b=2m或b=-2m+2.
当b=-2m+2时，直线AB的方程为x=my-2m+2过定点（2，2）与M重合，舍去；
当b=2m时，直线AB的方程为x=my+2m过定点（0，-2），所以直线AB过定点（0，-2）.
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第三章 章末复习
知识要点】
公式概念应用】
1. 在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．
【答案】＋y2＝1.
【解析】
【分析】
【详解】方法一 由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
方法二 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，
由＝2，得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，(*)
把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
2. 已知a>b>0，椭圆C1的方程为＝1，双曲线C2的方程为＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
【答案】x±y＝0
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式，结合双曲线方程特点进行求解即可.
【详解】解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，
所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，
所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0．
故答案为：x±y＝0
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第三章 章末复习
章末检测试卷（三）
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A. B. 2 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】双曲线化为标准方程，求出双曲线的实半轴与虚半轴，即可求解双曲线的焦距.
【详解】双曲线化为标准方程，
的实半轴,虚半轴 ,
则，
双曲线的焦距为，故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程以及几何性质，意在考查对基础知识的掌握与应用,属于简单题.
2. 设椭圆的左 右焦点分别为，，上顶点为B.若，则该椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得，
所以，，则，所以椭圆的方程为.
故选：A.
3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为,
由点到直线的距离公式可得.
故选：B
4. 已知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦，若的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦点三角形的特征可得，再由离心率可得，经计算即可得解.
【详解】由的周长为16，可得，所以，
又由，
所以，，
所以椭圆的方程为.
故选：D
5. 已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=
A. B. C. 0 D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】由题知，故，
∴，故选择C．
视频
6. 如图，已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的一点，轴，（O为原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中条件，先得到，求出，根据得到，化简整理，即可求出结果.
【详解】因为是椭圆的左焦点，所以，，，
因为是椭圆上的一点，轴，
将代入得，所以；
又，所以，，即，整理得，
所以该椭圆的离心率为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：
求椭圆的离心率，解题关键是找到关于a,b,c的等量关系．本题中根据轴，求出点坐标，根据，得出等式，化简整理，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力.
7. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】将y=k(x+2)代入y2=8x,得
k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
设交点的横坐标分别为xA,xB,
则xA+xB=-4,①
xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,
|FA|=2|FB|,
∴2xB+4=xA+2.
∴xA=2xB+2.②
∴将②代入①得xB=-2,
xA=-4+2=-2.
故xA·xB==4.
解之得k2=.
而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.
视频
8. 如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．
【详解】，不妨令，，，
，，
又由双曲线的定义得：，，
，
，．
在中，，
又，，
双曲线的离心率．
故选;C
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 已知方程，则
A. 当时，方程表示椭圆 B. 当时，方程表示双曲线
C. 当时，方程表示两条直线 D. 方程表示的曲线不可能为抛物线
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 取，此时表示圆，错误；
B. 当时，方程表示焦点在轴或轴上的双曲线，正确；
C. 当，时，方程不成立，错误；
D. 方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选：.
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10. 对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上，准线方程为y＝－
B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为(1,0)
D. 开口向右，准线方程为y＝－1
【答案】AB
【解析】
【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】由题设，抛物线可化为，
∴开口向上，焦点为，准线方程为.
故选：AB
11. 已知直线y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为（ ）
A. ± B. ± C. ± D. ±
【答案】BD
【解析】
【分析】联立直线、双曲线方程，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，应用韦达定理求，由已知结合弦长公式列方程求参数k.
【详解】由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.
将y＝kx＋1代入得：(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，即k2＜5.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，
∴，解得或.
故选：BD
12. 设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. |PF1|＋|PF2|＝2
B. 离心率e＝
C. △PF1F2面积的最大值为
D. 以线段F1F2为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【解析】
【分析】由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.
【详解】对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；
对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；
对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.
故选：AD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
【答案】
【解析】
【详解】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：
14. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_______________，渐近线方程为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由抛物线方程可得焦点为，根据双曲线与抛物线焦点相同知，结合离心率，即可求双曲线方程及其渐近线方程.
【详解】由题意，知：抛物线标准方程为，即焦点为，有双曲线参数，
∴在双曲线中，又，可得，
∴双曲线的方程为，则渐近线方程为.
故答案为：，.
15. 过点E的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|＝3，则p＝________.
【答案】4
【解析】
【分析】设A，B分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由抛物线定义、中点坐标公式得、及y2＝2y1，进而求参数p.
【详解】设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∴，又|AF|＝3，故，
由中点坐标公式，得，即，y2＝2y1，
∴，即，又p>0得：p＝4.
故答案为：4
16. 如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
【答案】8
【解析】
【分析】由抛物线方程确定焦点坐标、准线方程，设A(x0,y0)(y0＞0)，利用抛物线的定义、勾股定理求出x0,y0，进而求△AFK的面积.
【详解】由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为.
故答案为：8
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，求椭圆的方程.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的几何性质可得且，可得的值，进而计算可得的值，将、的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；
【详解】解：根据题意，椭圆的短轴一个端点到右焦点的距离为，则有，
又由椭圆的离心率为，则有，
则有，
则，
则椭圆的标准方程为：.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单几何性质的应用．
18. 已知椭圆 (a>b>0)经过点A(2,1)，离心率为，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.
（1）求椭圆的方程；
（2）若|MN|＝，求直线MN的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由椭圆离心率及所过的点，列方程组求椭圆参数，写出椭圆方程.
（2）设直线MN为y＝k(x－3)，联立椭圆方程并应用韦达定理、弦长公式，结合已知求参数k，写出直线MN的方程．
【详解】（1）由题意，，解得，
∴椭圆方程为.
（2）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k(x－3)，
代入椭圆方程,整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，且Δ＝24－24k2>0，得k2<1.
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则，
，解得，满足k2<1，
∴所求直线方程为．
19. 已知椭圆及直线.
(1)当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
(2)求直线被此椭圆截得的弦长的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）将直线方程代入椭圆方程，求得，由，即可求得实数m的取值范围；（2）由（1）可知，由韦达定理及弦长公式可知丨AB丨=，即可求最值．
试题解析：(1)由消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
上面方程的判别式Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得.
故所求实数m的取值范围为．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得：x1＋x2＝，
故|AB|＝
＝ ，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
20. 已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－；（2）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.
试题解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
21. 已知为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．
（1）求的最大值；
（2）若且的面积为，求的值；
【答案】（1）100；（2）8.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆定义知为定值2a，再利用均值定理求积的最大值即可；
（2）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设出＝，＝，利用余弦定理可求得t1t2的值，最后利用三角形面积公式求解即可求出b值．
【详解】（1）∵P点在椭圆上，∴＝2a＝20，
又100，
∴有最大值100．
（2）∵a＝10，|F1F2|＝2c．
设＝，＝，
则根据椭圆的定义可得：+＝20①，
在△中，∠＝60°，
所以根据余弦定理可得：2+2﹣2 cos60°＝4c2②，
由①2﹣②得3＝400﹣4c2，
所以由正弦定理可得：．
所以c＝6，
∴b＝8．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法，属于基础题.
22. 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.
（1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；
（2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.
【答案】（1）证明见解析；（2）m＝6.
【解析】
【分析】（1）由题设可得M(5,)，N(5,－)，利用向量数量积的坐标表示求，即可证△AMN为直角三角形；
（2）由题意，设l：y＝2(x－m)，，联立抛物线方程应用韦达定理求y1＋y2、y1y2，再由垂直知，应用向量数量积的坐标表示得到关于m的方程，即可求得使AM⊥AN成立的m值.
【详解】（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，
不妨取M(5,)，N(5,－)，则，
∴，
∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．
（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，
设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，
由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，
∵AM⊥AN，则，又，
∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，
∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.
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