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3.3.2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用
【知识要点】
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程.
知识点二 直线和抛物线
1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2.抛物线焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②＝x1＋x2＋p；
③＋＝.
1. 若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．
考点：1．抛物线的定义；2．轨迹方程．
2. 已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
3. 过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1（x1、y1），P2（x2、y2）两点，若y1+y2=6，则|P1P2|的值为
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而可设出直线方程，然后联立直线与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再由两点间的距离公式表示出|P1P2|，将得到的两根之和与两根之积即可得到答案．
解：x2=4y的焦点为（0，1），设过焦点（0，1）的直线为y=kx+1
则令kx+1=，即x2﹣4kx﹣4=0
由韦达定理得x1+x2=4k，x1x2=﹣4
y1=kx1+1，y2=kx2+1
所以y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=6，所以k2=1
所以|AB|=|x1﹣x2|=
===8．
故选C．
考点：抛物线的简单性质．
4. P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A. |PP1||AA1|+|BB1| B. |PP1||AB|
C. |PP1||AB| D. |PP1||AB|
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
故选：B
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3.3.2第2课时抛物线的方程及性质的应用
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 设圆C与圆外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（ ）
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆
【答案】A
【解析】
【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．
【详解】设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，
圆的圆心为A，
∵圆C与圆外切，
与直线y=0相切，∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r
∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离
由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．
故选：A.
点评：本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．
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2. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
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3. 已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值.
【详解】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，
因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，
所以当x=0时，z最小，最小值为3.
故选：B.
4. 已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，且，则等于（ ）
A. 2 B. -2 C. -4 D. 4
【答案】CD
【解析】
【分析】求出抛物线的标准方程，及焦点坐标和准线方程，根据抛物线的定义列出方程，求出，从而可得答案.
【详解】解：∵抛物线C：，∴x2=8y，
∴焦点F（0，2），准线方程为y=-2.
∵是C上一点，且，
由抛物线的定义，得，
∴，∴，
∴.
故选：CD.
5. 已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，，则p的值为
A. 2 B. 4 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可得到p．
【详解】解：抛物线的焦点，
准线方程为，设，
直线AB的方程为，
代入可得
，，
由抛物线的定义可知，，，
，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．
能力提升
6. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D.
考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
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7. 过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8. 已知点A，B在抛物线y2=4x上且位于x轴的两侧，5（其中O为坐标原点），则直线AB在x轴上的截距是
A. 5 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
设，，由可求得，设直线AB在x轴上的截距为，同时设直线方程为(斜率不存在时另行验证)，与抛物线方程联立，消去后得的方程，由韦达定理可求得，
【详解】设，因为在抛物线上，所以，
，因为，所以．
设直线AB在x轴上的截距为，若斜率不存在，则，所以，从而，，
若斜率存在，设直线方程为，由得，，．
综上，直线在轴上截距是5．
故选：A．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值．方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法，注意体会．
挑战创新
9. 已知直线与抛物线交于不同的两点，，直线，的斜率分别为，，且，则直线恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设直线为,与抛物线方程联立可得,即,利用斜率公式代入中即可求得,进而得出结论
【详解】设直线为,联立,消去可得,
设,,所以,
因为,即,所以,
所以,
所以,
所以直线一定过点,
故选:C
【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用
10. 已知动圆E经过定点D(1，0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点P(1，2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．
【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用抛物线的定义，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，然后，直接求解即可
(2) 联立方程，分别求出和，求出为定值即可
【详解】（1）动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，所以，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，所以，可直接得到曲线C的方程为y2＝4x
（2）证明：由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.
直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，
由
得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，
Δ＝16(k－1)2>0，
已知此方程一个根为1，
∴＝＝，
即＝，
同理＝＝，
∴＝，＝，
＝k·－2k＝，
∴kAB＝＝＝－1，
∴直线AB的斜率为定值－1.
【点睛】关键点睛：解题关键在于联立方程，分别求出和，进而求出为定值，难度属于中档题
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3.3.2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用
学习目标：
1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.
2.解决一些抛物线的综合问题.
方法要点：
1.求轨迹问题的两种方法
（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.
（2）定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程.
2.解决抛物线综合问题的基本策略
对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论.
典型例题：
题组一、和抛物线有关的轨迹问题
例1 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值.
变式 若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
题组二、抛物线的综合问题
例2 如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
（1）求y1y2的值；
（2）连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值.
变式 已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________.
当堂检测：
1. 动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（ ）.
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义即可判断.
【详解】解：∵动点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴动点到点的距离等于它到直线的距离，
∴由抛物线的定义知：该动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线.
故选：D.
2. 已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A. y2＝12x B. y2＝－12x
C. x2＝12y D. x2＝－12y
【答案】A
【解析】
【分析】设出点M的坐标，由题意可知|MA|＝|MN|，进而根据抛物线的定义即可得到答案.
【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
故选：A.
3. 设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
【答案】D
【解析】
【分析】设A，B，根据△AOB的面积为16求出a的值，从而得到△AOB为等腰直角三角形和∠AOB＝90°.
【详解】由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4.因为OA=OB=∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
故答案为D
【点睛】(1)本题主要考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求角和边，一般是解三角形.
4. 已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是____________．
【答案】（4，2）
【解析】
【详解】设，由得到也就是，所以 ，故，因此中点坐标为.
点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，通常联立方程，通过韦达定理去处理与两根之和、两根之积相关的代数式或相关问题.
5. 已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________.
【答案】y2＝4x
【解析】
【分析】设出所求点坐标，利用条件及数量积坐标表示即求.
【详解】由于＝知，则P为MN的中点，设N(x，y)，则M(－x，0)，P，
由·＝0，得·＝0，
所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
故答案为：y2＝4x.
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