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3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】联立直线与抛物线方程，消元化简可得关于x的一元二次方程，由此可求点A，B的横坐标的和，结合抛物线焦半径公式可求|FA|＋|FB|.
【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由，得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，
∴ |FA|＋|FB|＝7，
故选：D.
2. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（ ）
A. 18 B. 24 C. 36 D. 48
【答案】C
【解析】
【详解】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），
则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，
又∵AB⊥x轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P在准线上
∴DP=（ +|- |）=p=6
∴S△ABP=（DP AB）= ×6×12=36
故选:C．
3. 抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：抛物线的准线为；顶点为（0,0），抛物线上准线和顶点距离相等的点的坐标为 则有解之得
∴.
4. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
【答案】6
【解析】
【详解】
【分析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
5. 已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的定义可以求出A点的轨迹方程，再利用点斜式求出直线的方程，将A点的轨迹方程与直线的方程联立得到二次方程，因为直线与A点的轨迹没有交点，故二次方程无实数根，讨论二次项系数并结合判别式即可得到答案.
【详解】设点，依题意得点在以为焦点，以直线为准线的抛物线上，
A点的轨迹为. 由题意可知：过点且斜率为的直线方程为，
由消去，得，当时，显然不符合题意；
当时，依题意得中，化简得，解得或.
因此的取值范围为.
故答案为：
能力提升
6. 若点是抛物线的弦的中点，则弦的长为_______
【答案】
【解析】
【分析】
设出点的坐标，分别代入抛物线的方程，两式相减，利用中点纵坐标求得直线的斜率，从而求得的方程，最后联立方程组，利用弦长公式，即可求解.
【详解】设，代入抛物线，可得，
两式相减，可得，
所以直线的方程为，即，
代入抛物线的方程得，则，
则，
即弦的长为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中涉及到曲线的弦的中点和斜率时，可采用“点差法”求解，得出直线的方程式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
7. 已知A，B是抛物线两点，O为坐标原点．若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线的性质知关于轴对称,设出坐标，利用三角形垂心的性质，结合斜率之积为，求出坐标即可求解.
【详解】由抛物线的性质知关于轴对称,
设，则，焦点为.
由题意知，，
所以，即.
因为，所以，即，所以直线AB的方程为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，三角形垂心的性质，解题的关键是利用三角形垂心的性质得到，再利用斜率的关系求得坐标，考查学生的运算求解能力，属于中档题.
8. 抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 - =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.
【答案】6
【解析】
【详解】因为抛物线x2=2py的准线和双曲线-=1相交交点横坐标为
考点：本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.
挑战创新
9. 已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可设直线的方程为，，联立直线方程和抛物线方程消去后可得，，用表示，再利用前者化简可得所求的的值.
【详解】由题意知抛物线C的焦点坐标为，则直线的方程为，
将其代入，得.
设，则，.
因为，所以.
整理得到，
即.
因为，
所以等价于
整理得到：，
所以，
整理得到：，故.
故选：D.
视频
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的参数的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为关于参数的方程，从而可求参数的值.
10. 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【答案】（1）8（2）
【解析】
【分析】（1）由y2＝6x，得准线方程、焦点，直线的方程为，与抛物线方程联立可得x2－5x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，由抛物线的定义可知线段AB的长；
（2），即可求线段AB的中点M到准线的距离．
【详解】(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝．
又F，所以直线l的方程为y＝．
联立消去y得x2－5x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3．又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离为3＋＝．
【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题.
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3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质
【知识要点】
知识点一 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0，0)
离心率 e＝1
通径长 2p
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
【公式概念应用】
1.判断
1. 抛物线关于顶点对称．（ ）
【答案】错误
2. 抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．（ ）
【答案】正确
3. 抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．（ ）
【答案】正确
4. 抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．（ ）
【答案】正确
5. “直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．（ ）
【答案】正确
6. 若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.
【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，
∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，
则P(3，±2)，
∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
故选：A.
7. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条
C. 有无穷多条 D. 不存在
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．
故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1）
代入抛物线y2=4x得，k2x2-2（k2+2）x+k2=0
∵A、B两点的横坐标之和等于5，
∴=5，k2=，则这样的直线有且仅有两条，故选B．
考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系．
点评：常见题型，联立方程组，整理得一元二次方程，运用根的判别式求参数的范围，是常规解法.
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3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质
学习目标：
1.掌握抛物线的几何性质.
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.
方法要点：
1把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
（1）开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
（2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
（3）定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p；离心率恒等于1.
2直线与抛物线的位置关系
（1）设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况.
（2）一般弦长：|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|.
（3）焦点弦长：设焦点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=x1+x2+p.
典型例题：
题组一 抛物线的几何性质的应用
例1等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p>0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（ ）
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
变式边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（ ）
A. B.
C. D.
题组二 直线与抛物线位置关系的判断
例2已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
变式（1）过点P（0，1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（ ）
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
题组三 直线与抛物线的相交问题
例3已知抛物线方程为y2=2px（p>0），过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=p，求AB所在的直线方程.
变式设抛物线C：x2=4y焦点为F，直线y=kx+2与C交于A，B两点，且·=25，则k的值为（ ）
A.±2 B.-1 C.±1 D.-2
当堂检测：
1. 已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．
考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．
视频
2. 以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】依题可设抛物线方程为或（），通径所在直线方程为，将通径方程代入抛物线的方程中即可得到p的值，最后写出抛物线方程即可得到答案.
【详解】设抛物线方程为或（），
依题意得，代入或得，
∴，，
∴抛物线方程为或.
故选：CD.
3. 设 O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是抛物线上一点,若,则点A的坐标是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线的焦点，设出的坐标，用坐标表示出，然后结合
得到关于的方程，解方程即可确定点的坐标
【详解】设的坐标为
为抛物线的焦点，
，
解得，
点的坐标为或
故选
【点睛】本题是一道关于抛物线与向量的综合题目，需要熟练掌握抛物线的性质，设出点坐标，求出向量的点乘来计算结果，属于基础题．
4. 抛物线y2=4x的弦AB⊥x轴，若，则焦点F到直线AB的距离为________.
【答案】2
【解析】
【分析】不妨设点在轴上方，依题意可知点纵坐标，代入抛物线方程求得点横坐标，根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，则焦点到的距离可得．
【详解】解：不妨设点在轴上方，依题意可知，
则，
而抛物线焦点坐标为F，
所以焦点F到直线AB的距离为.
故答案为：2.
5. 直线与抛物线有且只有一个公共点，则________.
【答案】0或1
【解析】
【分析】当时，直线为，与抛物线对称轴平行，故只有一个交点，当时，将代入抛物线，用判别式法求解.
【详解】当时，直线为，与抛物线只有一个交点，
当时，将代入抛物线，
得：，
因为直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以，
解得，
综上：或
故答案为：0或1
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.
答案
1.答案B
解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
不妨设A，B两点的坐标分别为（2p，2p）和（2p，-2p）.
所以|AB|=4p，所以S△AOB=×4p×2p=4p2.
答案C
解析设抛物线方程为y2=ax（a≠0）.
又A（取点A在x轴上方），则有=±a，
解得a=±，所以抛物线方程为y2=±x.故选C.
2.解联立消去y，
得k2x2+（2k-4）x+1=0.（*）
当k=0时，（*）式只有一个解x=，∴y=1，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，（*）式是一个一元二次方程，
Δ=（2k-4）2-4k2=16（1-k）.
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k=1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
答案B
解析如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点.
故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.
3.解由题意知焦点F，设A（x1，y1），B（x2，y2），
若AB⊥x轴，则|AB|=2p≠p，不满足题意.
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y=k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2-2py-kp2=0.
由根与系数的关系得y1+y2=，y1y2=-p2.
所以|AB|=
=·=2p=p，
解得k=±2.
所以AB所在的直线方程为2x-y-p=0
或2x+y-p=0.
答案A
解析设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+2代入x2=4y，
消去x得y2-（4+4k2）y+4=0，
所以y1·y2=4，y1+y2=4+4k2，
抛物线C：x2=4y的准线方程为y=-1，
因为=y1+1，=y2+1，
所以·=y1·y2+（y1+y2）+1=4+4+4k2+1=25 k=±2.
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