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1.3.1空间直角坐标系
学习目标：
1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点 向量的坐标.
方法要点：
1.建立空间直角坐标系的原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面.
②充分利用几何图形的对称性.
（2）求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标（x，y，z）.
2.空间点对称问题的解题策略
（1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
3.向量坐标的求法
（1）点A的坐标和向量的坐标形式完全相同；
（2）起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得.
典型例题：
题组一 求空间点的坐标
例1（1）画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴 y轴 z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，C的坐标分别为________________；
②棱C1C中点的坐标为________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为________.
（2）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
变式在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.
题组二 空间点的对称问题
例2在空间直角坐标系中，已知点P（-2，1，4）.
（1）求点P关于x轴对称的点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
（3）求点P关于点M（2，-1，-4）对称的点的坐标.
变式已知点P（2，3，-1）关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________.
题组三 空间向量的坐标
例3已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标.
变式已知A（3，5，-7），B（-2，4，3），设点A，B在yOz平面上的射影分别为A1，B1，则向量的坐标为__________.
当堂检测：
1. 点A(2，0，3)在空间直角坐标系中的
A. y轴上 B. xoy平面上 C. xoz平面上 D. yoz平面上
【答案】C
【解析】
【详解】
【分析】纵坐标为0，则点A(2，0，3)在空间直角坐标系中的xoz平面上.
故选：C.
2. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】关于面对称的点为
3. 在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点到平面yOz的距离是即可求出结果.
【详解】点到平面yOz的距离是,
故选：A.
4. 点关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P关于z轴的对称点P2的坐标为________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据点关于xOy平面的对称点的坐标为，关于z轴的对称点的坐标为即可求出结果.
【详解】点关于xOy平面的对称点P1的坐标为，点P关于z轴的对称点P2的坐标为.
故答案为：；.
5. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则向量的坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】结合长方体的性质求出的坐标，进而可求出结果.
【详解】由题意可知，因此，
故答案为：.
参考答案
例1（1）①（0，0，0），（1，1，0）②③
（2）解∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为2.
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴 y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，-2，0），B（2，2，0），C（-2，2，0），D（-2，-2，0），P（0，0，2）.
答案不唯一.
变式解建立如图所示的空间直角坐标系.
点E在z轴上，它的横坐标 纵坐标均为0，
而E为DD1的中点，
故其坐标为.
由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N，
由平面几何知识知FM=，FN=，
故F点坐标为.
因为CG=CD，G，C均在y轴上，
故G点坐标为.
由H作HK⊥CG，可得DK=，HK=，
故H点坐标为.
（答案不唯一）
例2解（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（-2，-1，-4）.
（2）由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（-2，1，-4）.
（3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x=2×2-（-2）=6，
y=2×（-1）-1=-3，z=2×（-4）-4=-12，
所以P3的坐标为（6，-3，-12）.
变式答案（2，-3，1）
解析点P（2，3，-1）关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为（-2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，-3，1）.
例3解建立如图所示的空间直角坐标系，设=i，=j，=k，
=4i+0j+0k=（4，0，0），
=+=0i+4j+4k=（0，4，4），
∴=+
=++
=-4i+4j+4k
=（-4，4，4）.
变式答案（0，-1，10）
解析点A（3，5，-7），B（-2，4，3）在yOz平面上的射影分别为A1（0，5，-7），B1（0，4，3），
∴向量的坐标为（0，-1，10）.
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1.3.1 空间直角坐标系
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 点在空间直角坐标系中的位置是（ ）．
A. 在轴上
B. 在平面内
C. 在平面内
D. 在平面内
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的横坐标为判断.
【详解】∵点的横坐标为，
∴点在平面内，
故选：C．
2. 在空间直角坐标系中，P（2，3，4）、Q（ 2， 3， 4）两点的位置关系是
A. 关于轴对称 B. 关于平面对称
C. 关于坐标原点对称 D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】由空间点坐标的关系即可判断得解.
【详解】∵P（2，3，4）、Q（ 2， 3， 4）两点的横坐标、纵坐标、竖坐标均互为相反数，
∴两点关于坐标原点对称．故选C．
【点睛】本题主要考查了利用坐标判断两点的位置关系，属于基础题.
3. 点在平面内的射影为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间点在平面内的射影求解.
【详解】点在平面内的射影为，
∴、、，
∴．
故答案为：0
4. 已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3，2，1)，M点的坐标为(4，3，1)，则B点的坐标为________．
【答案】(5，4，1)
【解析】
【分析】设B点的坐标为(x，y，z)，根据点A与点B关于点M对称，列出方程，从而可得答案.
【详解】解：设B点的坐标为(x，y，z)，
因为点A与点B关于点M对称，
则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，
所以B点的坐标为(5，4，1).
故答案为：(5，4，1).
5. 如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】先写出点B的坐标，再写出的坐标，再利用中点的坐标公式得的坐标.
【详解】由题意知，点B的坐标为(1，1，0)．
由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1，0)，
由点C与点B关于y轴对称，得C(－1，1，0)，
由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1，0)．
又P(0，0，2)，E为AP的中点，F为PB的中点，
所以由中点坐标公式可得E，F.
能力提升
6. 在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，则关于原点的对称点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】先写出点的坐标，再求关于原点的对称点坐标即可
【详解】根据在平面上的点的性质可知，纵坐标为0，其他坐标不变，
点在平面上的射影的坐标为，
关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系中点的对称和坐标在平面内的射影问题，属于基础题.
7. 如图，正方体的棱长为，则图中的点关于轴的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】写出点的坐标，即可得出点关于轴的对称点的坐标.
【详解】因为、，所以线段的中点为，
所以点关于轴的对称点的坐标为.
故答案为：.
8. 如右图，为一个正方体截下的一角P－ABC，，，，建立如图坐标系，求△ABC的重心G的坐标_______________．
【答案】G（） ；
【解析】
【分析】
【详解】由题意写出A,B,C三点坐标，即，在三角形ABC中，利用重心坐标公式即得G（）．
挑战创新
9. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为________；在基底下的坐标为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知条件可求出，设在所要求的基底下的坐标，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解
【详解】因为向量在基底下的坐标为，
所以，
设向量在基底下的坐标为
则
可得，
所以向量在基底下的坐标为，
设向量在基底下的坐标为，
则
因为，
所以，解得
所以向量在基底下的坐标为
10. 如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
【答案】.
【解析】
【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，分别求得的长，即可得出结果.
【详解】过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得
∴
∴点D的坐标为.
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1.3.1 空间直角坐标系
【知识要点】
知识点一空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
（1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．
（2）相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
知识点二空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
知识点三空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
【公式概念应用】
1. 判断对错
1．空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．（ ）
2．空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．（ ）
3．关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．（ ）
【答案】 ①. 错误 ②. 正确 ③. 正确
2. 如图所示，正方体的棱长为1，则的坐标是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析： 由空间直角坐标系和棱长为1，可得则的坐标是．
考点：1．空间直角坐标系；
3. 已知，，则线段中点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用中点坐标公式求解.
【详解】设中点坐标为，
则，，，
∴中点坐标为．
故答案为：
4. 在空间直角坐标系中，已知点，过点P作平面yoz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由于垂足Q在yOz平面内,可设Q(0,y,z)
∵直线PQ⊥yOz平面
∴P、Q两点的纵坐标、竖坐标都相等，
∵P的坐标为 ，
∴,可得 ，
本题选择B选项.
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