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1.2 空间向量基本定理
【知识要点】
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
知识点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【公式概念应用】
1.判断正错
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( )
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( )
(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．( )
(5)只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．( )
(6)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( )
(7)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.( )
1. 在下列两个命题中，真命题是（ ）
①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若，是两个不共线向量，而＝λ＋μ (λ，μ且λμ≠0)，则{，，}构成空间的一个基底．
A. 仅① B. 仅② C. ①② D. 都不是
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量基底的定义及平面向量基本定理即可判断.
【详解】解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面正确，故①为真命题；
根据平面向量基本定理，若，是两个不共线向量，且＝λ＋μ (λ，μ且λμ≠0)，则与、所确定的平面共面，即，，共面，所以{，，}不能构成空间的一个基底，故②为假命题.
故选：A.
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1.2 空间向量基本定理
学习目标：
1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理，
2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.（重点）
知识要点：
1．基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
2. 用基底表示向量的步骤
（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面向量构成空间的一个基底．
（2）找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
（3）下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
典型例题：
题组一 空间的基底
1. 已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以,,作为空间的一个基底？
【答案】详见解析
【解析】
【分析】假设共面，根据向量共面的充要条件有，进而得e1＋2e2－e3＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，通过系数相等解方程组知方程组无解，从而证得.
【详解】假设共面，根据向量共面的充要条件有，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程组无解．∴不共面．
∴{}可作为空间的一个基底．
【点睛】解答本题的关键是正确理解空间基底的定义，考查对概念的理解，解题时注意只有不共面的三个向量才能作为空间的一个基底，这也是判定三个向量能否作为空间基底的方法．
2. 设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③，其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理判断.
【详解】如图所示：
令，则，＝，
①因为，所以向量共面，所以不能作为基底；
②因为点不共面，所以向量不共面，所以可以作为基底；
③因为点不共面，所以向量不共面，所以可以作为基底；
故选：B.
3. 已知空间的一个基底，，若与共线，则x＋y＝________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据与共线，由求解.
【详解】因为与共线，
所以，
所以
解得，
所以x＋y＝0.
故答案为：0.
题组二 空间向量基本定理
4. 如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，.
【答案】，.
【解析】
【分析】连接，根据空间向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：连接
所以
5. 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝，＝，＝，E，F分别是PC和PB的中点，试用表示，，，.
【答案】； ；
＝；＝.
【解析】
【分析】运用空间向量的坐标表示即平面向量定理计算即可得出答案.
【详解】连接BO，
则＝＝(＋)＝(＋＋)＝＝；
＝＋＝＋＝＋(＋)＝；
＝＋＝＋＋(＋)＝；
＝＝＝.
当堂检测：
6. 以下四个命题中正确的是（ ）
A. 基底中可以有零向量
B. 空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C. △ABC为直角三角形的充要条件是
D. 空间向量的基底只能有一组
【答案】B
【解析】
【分析】利用零向量与任意两个非零向量都共面判断A,利用基底的性质判断BD,利用直角不确定判断C
【详解】因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；
△ABC为直角三角形并不一定是可能是也可能是,故C不正确；
空间基底可以有无数多组，故D不正确.
故选：B
7. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，寻找与共面的向量即可.
【详解】因为=，=，
故()，所以与向量共面，
故，，不能构成空间的一个基底.
故选：.
【点睛】本题考查构成向量是否共面的判断，属基础题.
8. 下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，
所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；
对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中，共面，故D错误.
故选：C
9. 已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为____.
【答案】，-1，##2.5，-1，-0.5
【解析】
【分析】由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使，进而化简，然后结合得到答案.
【详解】由题意得，为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使，
又∵，∴ ，
故答案为：.
10. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设，，，则向量用表示为________．
【答案】.
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可得答案.
【详解】解：因为＝－2，∴，∴，
∴.
故答案为：.
11. 如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，i， j， k，试用基底{i，j，k}表示向量，.
【答案】ijk；ijk.
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理，用向量的加减运算进行转化，将向量用规定的基底表示即可
【详解】
延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，因为G为△PDC的重心，所以
ijk.
i＋j＋k.
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1.2空间向量基本定理
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.
【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若，，是三个共面的非零向量，则，，不能作为空间的一个基底；
但若，，为空间的一个基底，则，，不共面，
所以，，是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.
故选：B.
2. 下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，
所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；
对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中，共面，故D错误.
故选：C
3. 已知是空间的一个基底，若，则（ ）
A. 是空间的一组基底
B. 是空间的一组基底
C. 是空间的一组基底
D. 与中的任何一个都不能构成空间的一组基底
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念逐项分析判断即可求出结果.
【详解】假设，即，得，
这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，
故选：C.
4. 如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA=AD=1，四边形ABCD为正方形，以为基底，则________.
【答案】
【解析】
【分析】结合空间几何图形的性质以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】
故答案为：
5. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.
（1）用基底表示向量
（2）化简，并在图中标出化简结果.
【答案】（1），，；（2），图中标注见解析.
【解析】
【分析】（1）利用空间向量加、减法法则可得出、、关于、、的表达式；
（2）结合空间几何图形的性质以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】（1），
，
；
（2）
如图，连接DA1，则即为所求.
能力提升
6. 点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接，，再利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理即可求解.
【详解】取的中点，连接，
则
，
又因为，
由空间向量基本定理可得：
故选：D.
7. 如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，，则有序实数组（x，y，z）=________.
【答案】
【解析】
【分析】用基底表示出向量，进而可以得到有序实数组.
【详解】
所以有序实数组，
故答案为：.
8. 在四面体中，已知，，，的中点分别为，，则______________（用，，表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】如图所示，取的中点，连接，，则．故填．
挑战创新
9. 设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示,连接AG1交BC于点M，则M为BC中点,利用空间向量的运算法则求得，即得.
【详解】如图所示,连接AG1交BC于点M,则M为BC中点，
)=,
.
因为
所以=3(),
∴ .
则，
∴ ，，，
故选：A.
10. 如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设，用向量表示向量
【答案】
【解析】
【分析】结合空间几何性质以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】因为
，
，
，
故答案为：.
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