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1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标：
1.理解空间向量的概念．(难点)
2.掌握空间向量的线性运算．(重点)
3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论应用．(重点、难点)
方法要点：
1.空间向量的概念问题
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
2.利用数乘运算进行向量表示的注意点
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．
3.向量共线的判定及应用
（1）证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
（2）判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
（3）判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ；
4.解决向量共面的策略
（1）若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面方法：
①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.
（3）证明空间四点P，M，A，B共面方法：
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝＋x＋y；
③对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；
④// (或//，或//).
典型例题：
题组一 向量概念的应用
例1 （1）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量，满足||＞||，则＞ D．相等向量其方向必相同
（2）(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的加法满足结合律 D．任一向量与它的相反向量不相等
变式： 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
题组二 空间向量的线性运算
例2 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．
（1）＋＋；
（2） (＋－)．
变式： 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．－a＋b＋c B. a＋b＋c
C. a－b＋c D．－a－b＋c
题组三 向量共线判定及应用
例3 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
变式：（1）已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________.
（2）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
题组三 向量共面的判定
例4 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断M是否在平面ABC内．
变式（1）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．
（2）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
①E，F，G，H四点共面．
②BD∥平面EFGH.
当堂检测：
1. 设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是( )
A. 空间四边形 B. 平行四边形
C. 等腰梯形 D. 矩形
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形.
【详解】由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同,
即四边形ABCD是平行四边形.故选B.
【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题.
2. 若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（ ）
A. P∈直线AB
B. P 直线AB
C. 点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】利用减法法则化简已知得，再根据，有公共起点A，即可判断得解.
【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)·＋n，
即＝n()，
即，所以与共线．
又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
故选：A
3. 在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是（ ）
A. ＝2－－ B.
C. D. ＋＋＋
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项．
【详解】与，，一定共面的充要条件是，
对于A选项，由于，所以不能得出共面，
对于B选项，由于，所以不能得出共面，
对于C选项，由于，则为共面向量，所以共面，
对于D选项，由得，而，所以不能得出共面．
故选：ABD
4. 已知点在平面内，并且对空间任意一点，都有，则的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为，且四点共面，所以必有，解得，故选D．
考点：空间向量的共面问题．
5. 已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量共线定理可设，由平面向量基本定理列方程即可求解.
【详解】若与共线，
则
因为非零向量，不共线，
所以，即，所以，
故答案为：
例1（1）答案 D
解析 A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
（2）答案 BC
解析 |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.
变式：答案 ①
解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
例2 解 （1）因为G是△BCD的重心，所以||＝||，
所以＝，又因为＝，
所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝.
从而＋＋＝.
（2）如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，且有＝，＝，而＋＝，＝，
所以 (＋－)＝＋－＝－＝.
变式答案 A
解析 ＝＋＝＋ (＋)
＝c＋ (－a＋b)＝－a＋b＋c.
例3 证明 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝
＝ (－)＝＝ (－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
变式：（1）答案 1
解析 由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
（2）证明 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝ (－)＝ (＋－)＝a＋b－c，
所以＝－
＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，所以E，F，B三点共线．
例4解 （1）∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
（2）由（1）知，向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
变式 （1）证明 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
（2）证明 如图，连接EG，BG.
①因为＝＋＝＋ (＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即E，F，G，H四点共面．
②因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.
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1.1.1 空间向量及其线性运算
【知识要点】
知识点一 空间向量的概念
1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.
2.长度或模：向量的大小.
3.表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
4.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
知识点二 空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三 共线向量
1.空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2.直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量.
知识点四 共面向量
1.共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【公式概念应用】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）两个有公共终点的向量，一定是共线向量.( )
（2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( )
（3）空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算.( )
（4）向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上.( )
（5）向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上.( )
（6）若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.( )
（7）空间中任意三个向量一定是共面向量.( )
（8）若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.( )
1. 如图所示，在四棱柱所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有________.
【答案】
【解析】
【分析】可作为直线A1B1的方向向量的向量是与直线A1B1 平行的，结合图形找出符合条件的即可.
【详解】根据方向向量的概念可知：
可作为直线A1B1的方向向量的有,
故答案为：.
2. 在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则+--的化简结果为____.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据几何关系，转化向量，再进行运算.
【详解】延长DE，交BC于点F，则F为BC的中点，∴==，
∴+--=+++=.
故答案为：
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1.1.1 空间向量及其线性运算
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 判断下列各命题的真假：
①向量和平行，则与的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的基本概念，向量共线的定义，以及相等向量的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，只有两个非零向量和平行，才可得向量与的方向相同或相反，所以错误；
对于②中，根据相等向量的定义，可得两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，所以正确；
对于③中，若两个向量的起点不同，即使终点相同，两个向量不是共线向量，所以错误；
对于④中，向量可以用有向线段表示，但有向线段不是向量，所以错误.
故选：B.
2. 在长方体中，化简－＋－＋－
【答案】.
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，根据向量的线性运算法则，可得：
3. 已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值．
【答案】λ＝3.
【解析】
【分析】连结并延长，交于，则为中点，且．因此，将化成，再由三角形重心的性质结合向量的加法法则，算出，可得，从而得解．
【详解】解：连结并延长，交于，则为中点，且，
是的中线，可得
．
结合，可得．
4. 如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．
【详解】
故选：B
5. 对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：
，则（ ）
A. 四点，，，必共面 B. 四点，，，必共面
C. 四点，，，必共面 D. 五点，，，，必共面
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到，判定，，共面，进而可得出结果.
【详解】因为，所以，
即，
根据共面向量基本定理，可得，，共面，
所以，，，，四点共面．
故选：B．
【点睛】本题主要考查空间向量的方法判定四点共面，熟记共面向量基本定理即可，属于基础题型.
能力提升
6. 在下列命题中：
①若向量共线，则所在的直线平行；
②若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；
④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以表示为.
其中正确命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据共线向量的定义、共面向量的判定、空间向量共面定理依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，若共线，可能在同一条直线上，①错误；
对于②，向量可以自由平移，所在的直线是异面直线，但可平移到共面状态，②错误；
对于③，三个向量两两共面，若，，交于一点，则垂直于所在平面，此时不共面，③错误；
对于④，只有当不共面时，空间任意一个向量才可以表示为，④错误.
故选：A.
7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①；②；③；④.其中运算的结果为的有___个.
【答案】4
【解析】
【分析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断即可
【详解】①；
②；
③；
④.
所以4个式子的运算结果都是.
故答案为：4
【点睛】此题考查了空间向量的加法运算，属于基础题
8. 平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由则因为由,根据空间向量的基本定理即可求得.
【详解】
,.
故选:C.
【点睛】本题考查空间向量的基本定理,考查向量的线性运算,考查学生的计算能力,难度较易.
9. 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】设，若点与点共面，则，
只有选项D满足.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，
且，则是解答的关键.
挑战创新
10. 已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ）
A. 在平面内 B. 在平面内
C. 在平面内 D. 在平面内
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量运算得出即可判断.
【详解】因为
，
所以，，，四点共面.
故选：C.
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