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1.3.2空间向量运算的坐标表示
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知向量，，，若，则与的夹角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得，，且，所以，
，所以，选C.
【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现的平行关系，就可以简化运算，否则要设坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了．
2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为
A. 9 B. C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，求出的坐标，然后利用距离公式求解即可.
【详解】在长方体中， D为坐标系原点，如图，
由D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)可知，长方体中|DC|=2，|DA|=4，|DD1|=3，
所以， 则对角线的长为：，
所以B选项是正确的.
【点睛】本题考查空间中两点间的距离和长方体的性质，要求仔细审题，认真计算，属基础题.
3. 若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据点A，B，C的坐标，分别求出的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而
可求m+n的值.
【详解】由题意，∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（ m+3，n﹣3，9）
∴
∵A（m+1，n﹣1，3），B （2m，n，m﹣2n），C（ m+3，n﹣3，9）三点共线，
∴
∴（m﹣1，1，m﹣2n﹣3）=λ（2，﹣2，6）
∴
∴
∴m+n=0
故答案为0
【点睛】本题以点为载体，考查三点共线，解题的关键是求向量的坐标，利用向量共线的条件．
4. 若，，，且，则________.
【答案】或.
【解析】
【分析】设，根据，且，列出方程组，即可求解.
【详解】设，因为，且，可得，
解得或，
即或.
故答案为：或.
5. 已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求出此时的|AB|．
【答案】见解析
【解析】
【分析】求出||，利用二次函数的性质，即可得出结论．
【详解】∵A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），
∴||==，
∴当||取最小值时，x的值等于．
当x＝时，|AB|有最小值，
此时A．
【点睛】本题考查空间距离的计算，考查二次函数的性质，比较基础．
能力提升
6. 一束光线自点P（1，1，1）出发，被xOy平面反射到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光线所经过的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到点关于xOy平面对称的点的坐标,利用空间两点的距离公式计算.
【详解】P关于xOy平面对称的点为P′（1，1，-1），则光线所经过的距离为
|P′Q|=.
故选:D
7. 已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.
【详解】设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
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8. 若, 的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________.
【答案】（-∞，-2）
【解析】
【分析】因为，的夹角为钝角，则，结合是否反向即可求解．
【详解】由题意，得，设，的夹角为θ，
因为θ为钝角，所以cosθ=<0.
又
所以
所以
又，不会反向，
所以实数x的取值范围是（-∞，-2）.
9. 三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥P-ABC的体积为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由题意，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则平面ABC，，根据坐标可知|AC|，|AB|和|AP|，进而利用三棱锥体积公式求得答案.
【详解】由题意A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，如图，
则平面ABC，则AP为三棱锥的高h，且，
由A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，|AB|=1，|AC|=2，|AP|=3，
设的面积为S，则S，
所以三棱锥P-ABC的体积.
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了三棱锥的体积计算，注意仔细审题，认真计算，属基础题.
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10. 已知，若，且平面，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，由求得，再根据平面，由，且求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，
所以．
因为平面，
所以，且，
即
解得
所以．
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题.
11. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
【答案】不存在
【解析】
【分析】以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法得到，解之即得解.
【详解】以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知A（0，0，0），C（0，2，0），B（，1，0），B1（，1，2），M.
又点N在CC1上，可设N（0，2，m）（0≤m≤2），
则=（，1，2）， ，
所以|，，.
如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.
又,
所以
解得，
这与0≤m≤2矛盾.
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
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1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【知识要点】
知识点一 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
知识点三 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝||＝.
【公式概念应用】
命题判断
1. 空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．（ ）
【答案】错误
2. 设若则（ ）
【答案】错误
3. 设A(0，1，－1)，O为坐标原点，则＝(0，1，－1)．（ ）
【答案】正确
4. 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=（ ）
【答案】正确
5. 已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A. (2，－4，2) B. (－2，4，－2)
C. (－2，0，－2) D. (2，1，－3)
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算结果.
【详解】解析：．
故选：A
6. 已知、、，若，则的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点的坐标为，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标.
【详解】设点坐标为，则，
又，，
所以，，，，则点的坐标为.
故选：A.
7. 已知向量a＝(2，3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是（ ）
A. －6 B. － C. D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】由题意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a－b＝(2－k，2)，
又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.
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1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标：
1.掌握空间向量的坐标表示.
2.掌握空间两点间距离公式.
3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题.
方法要点：
1.空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
2.利用空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
典型例题：
题组一 空间向量的坐标运算
1. 已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3).求点P的坐标，使.
【答案】.
【解析】
【分析】设点P的坐标为(x，y，z)，根据，利用向量相等求解.
【详解】因为A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，
所以＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
所以＝(6,3，－4)，
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
所以点P的坐标为.
故答案为：
2. 已知，若且与垂直，求.
【答案】.
【解析】
【分析】根据向量的模长公式和数量积等于，列方程组即可求解.
【详解】因为，
所以
整理可得：，解得或，
因为与垂直，
所以，
整理可得：，即，
所以，
所以.
3. 已知，，则________，______， ________.
【答案】 ①. ②. ③. 4
【解析】
【分析】根据条件有，可分别求出向量的坐标，然后由空间向量的数量积公式可得其数量积.
【详解】由，
又，所以
，所以
所以
故答案为： ； ； 4
题组二 向量坐标表示的应用
命题角度1 空间平行垂直问题
4. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.
则N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.
∴＝，＝.
∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.
∵NE?平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝，
∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，
∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.
命题角度2 夹角、距离问题
5. 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）利用空间中两点间的距离公式可求得的长；
（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）依题意得、，因此，，
因此，线段的长为；
（2）依题意得、、、，
，，
所以，，
故与所成角的余弦值为.
6. 如图，长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点.
（1）求证：；
（2）求的长.
（3）求与所成角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，证明即可；
（2）求出的坐标，由模长公式求模长即可求解；
（3）求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，，
所以，
所以即.
（2），
所以，
所以的长为.
（3）由（1）知，，
，
，，
设与所成角，则
，
故与所成角的余弦值为.
命题角度3 利用空间向量解决探索性问题
7. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
【答案】H为线段AB的中点
【解析】
【分析】以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，H的坐标为(m，n，0)，计算出和的坐标，又∥，根据向量共线的坐标运算公式求出m，n的值即可判断点H的位置.
【详解】解:如图所示，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，
因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，
因为＝(m，n，0)－＝，＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)，又∥，
所以＝＝，解得m＝1，n＝，
所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点，
即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.
8. 已知，，，若，则点B的坐标为（ ）．
A. （－1，3，－3） B. （9，1，1）
C. （1，－3，3） D. （－9，－1，－1）
【答案】B
【解析】
【分析】由，设结合空间向量的坐标，得(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，即可求B的坐标.
【详解】设，由得：(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，
∴,可得，所以点B的坐标为（9，1，1）.
故选：B
9. 已知向量，，，且，则λ等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的坐标运算先求出的坐标，由向量的模长公式得到关于的方程，解出方程即可得到答案.
【详解】由，，则
所以，且
整理可得，所以解得 （ 舍）
故选：C
10. 已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）．
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由＝0可求解．
【详解】由题意
，
．
故选：D．
11. 在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为________.
【答案】或13
【解析】
【分析】由空间两点间的距离公式可得答案.
【详解】，
所以，即
所以m＝－7或13.
故答案为：m＝－7或13.
12. 已知，，，则向量与的夹角等于_____．
【答案】
【解析】
【详解】由题意可得： ，
则 ,
则向量与的夹角等于.
点睛： (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
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