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1.2.2 空间向量基本定理的初步应用
1. 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.求证：BF∥ED′.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先证明,，即得，原题即得证.
【详解】证明：,
,
所以
所以
∵直线BF与ED′没有公共点，
∴BF∥ED′.
2. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据空间向量定义及运算法则，用，表示出，从而证得四点共面.
【详解】证明:因为
＝
＝＋
＝，
所以，，共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
3. 如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，E为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析.（2）．
【解析】
【分析】（1）由，，证明即可.
（2），，根据即可求解.
【详解】解：（1）证明：，
所以
，
所以．
（2）
，
，
所以，
即直线与所成角的余弦值为．
【点睛】本题考查了空间向量的数量积的应用，利用空间向量的数量积求异面直线所成角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
4. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
【答案】.
【解析】
【分析】选择向量为基底向量，分别表示出向量，，求出以及，的模长，从而求出向量，的夹角余弦值，从而得出答案.
【详解】
所以
又,
所以
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.
5. 已知平面平面，且，在l上有两点A，B，线段，线段，并且，，，，，则______．
【答案】26
【解析】
【分析】推导出=，从而=（）2=，由此能出CD．
【详解】
∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，
AC⊥l，BD⊥l，AB=6，BD=24，AC=8，
∴=，
∴=（）2
=
=64+36+576
=676，
∴CD=26．
故答案为26．
【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
6. 正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标关系求得线段的长度．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系
则N(a，a，a)，C1（0，a，a），A（a，0，0）
因为
所以
所以
所以
所以
所以选A
【点睛】本题考查了空间直角坐标系的简单应用，利用坐标求得线段长度，属于基础题．
7. 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据“时，若则点与点共面”，分别判断各选项是否为充分条件.
【详解】当时，可知点与点共面，
所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
【点睛】本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3) 对于空间中任意一点，证明.
8. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到，，进而求出，根据，即可判断B的大小；利用上述方法求得，，即可判断C和D的大小，进而可以判断出三角形的形状.
【详解】，，
为锐角，
同理：，，D和C都为锐角，
∴为锐角三角形.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了平面向量的加减运算法则与向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
9. 如图三棱锥中，底面，，，，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由题意，得到，，则，再由题意求出，，从而求出，进而求出，由向量夹角公式，求出，即可得出结果.
【详解】因为底面，所以，，所以，
又，，所以，
因此
所以，
又，所以，
因此，
所以与所成角的大小为.
故选：B
【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，灵活运用向量的方法求解即可，属于常考题型.
10. 如图，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】结合空间向量的数量积的定义与运算律求出，即可求出结果.
【详解】因为PA⊥平面ABCD，且平面ABCD，平面ABCD，所以，
所以，因为＝＋＋，
所以||2＝＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°＝61－12＝49．因此PC＝7，
故答案为：7.
11. 已知是空间两个向量，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】将将两边平方，求出，再根据平面向量的夹角公式计算可得结果.
【详解】将化为，
得，即，解得，
所以.
故答案为：
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1.2.2 空间向量基本定理的初步应用
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是( )
A. 长方形 B. 正方形 C. 梯形 D. 菱形
【答案】D
【解析】
【分析】作出空间四边形ABCD，连接AC，BD，连接四边中点得到一个四边形，证明它是一个菱形．
【详解】因为.
同理,所以,
所以四边形PQRS为平行四边形.
又,
所以||=|,即PS=BD.
又||=|,
故PQ=AC,而AC=BD,
所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.
故选D．
【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查平面向量的应用问题，是基础题．
2. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法运算将向量和用长方体的棱对应的向量来表示，之后应用向量数量积的定义式和运算法则求得其数量积等于0，从而得到两向量是垂直的，故得其夹角余弦值为0，得到答案.
【详解】根据题意可得，
，
从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0，
故选A.
【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值问题，涉及到的知识点是两向量的数量积为0，则其所成角为直角，从而得到其为垂直关系，还可以应用空间向量来解决.
3. 如图，二面角大小等于A，B是棱l上两点， BD，AC分别在平面α，β内，AC⊥l ，BD⊥l ，且 2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于（ ）
A. 2 B.
C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由，通过两边平方的方法求得的长.
【详解】依题意，二面角大小等于，，
所以.
由两边平方得：
，
所以
故选：B
4. 如图，在空间四边形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，再利用公式求异面直线AB与CD所成角的大小.
【详解】依题意可知CD＝＝，.
设直线AB与CD所成角为α，则cos α＝＝，
因为，
故α＝.
故答案为：
5. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）作出图形，根据平面向量的基本定理求解即可；
（2）由平面向量的基本定理表示即可求解
【详解】（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
（2）
能力提升
6. 在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，则log3|xyz|等于（ ）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】连接AG，利用空间向量的加法和减法，用，，表示向量，再根据＝x＋y＋z，求得x，y，z即可.
【详解】如图所示：
连接AG，
则，
，
所以，
所以，
故选：A
7. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：取的中点，因为正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，易证，因为是的中点，所以,又，所以，所以所以异面直线所成的角的大小是.
考点：本小题主要考查异面直线所成的角的求解，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.
点评：求异面直线所成的角关键是先做出两条异面直线所成的角.
8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)
① (＋＋)2＝2()2 ；
②·(－)＝0 ；
③向量与的夹角是60°；
④BD1与AC所成角的余弦值为.
【答案】①②
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的运算律及空间向量基本定理一一计算可得；
【详解】解：因为以为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为，不妨设棱长为，
对于①，，
因为，则，所以，故①正确；
对于②，因为，故②正确；
对于③，因为，显然为等边三角形，则，
所以向量与的夹角为，向量与的夹角为，故③不正确；
对于④，因为，，
则，，
所以，
所以，故④不正确．
故答案为：①②．
挑战创新
9. 在四面体P－ABC中，以下说法正确的有（ ）
A. 若，则可知
B. 若Q为△ABC的重心，则
C. 若，，则
D. 若四面体P－ABC的棱长都为2，M、N分别为PA，BC的中点，则MN=1
【答案】ABC
【解析】
【分析】A：根据平面向量共线定理和线性运算性质进行求解判断即可；
B：利用重心的性质，结合空间向量加法的运算性质进行求解判断即可；
C：根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解判断即可；
D：根据空间向量加减法的运算法则，结合空间向量的数量积的运算性质进行求解判断即可.
【详解】
对于 ，，， ， ，即，故正确；
对于B，为△的重心，则，,
即，故B正确；
对于C，若，，则，
,
,
,
，，故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选：ABC
10. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：平面PAC.
【答案】见解析
【解析】
【分析】以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量垂直与数量积得关系即可证明，，进而得到平面．
【详解】证明：如图所示，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2．
则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，．
，，．
，，
，，
所以，，
又，平面，平面，
平面．
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1.2.2 空间向量基本定理的初步应用
【知识要点】
知识点一 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
知识点二 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b非零向量，则a⊥b a·b＝0.
知识点三 求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
【公式概念应用】
1. 四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是.（ ）
【答案】错误
2. 若，则A，B，C，D四点共线．（ ）
【答案】错误
3. 已知两个向量 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.（ ）
【答案】错误
【解析】
4. 如果则四点O，P，M，N一定共面．（ ）
【答案】正确
5. 正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标关系求得线段的长度．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系
则N(a，a，a)，C1（0，a，a），A（a，0，0）
因为
所以
所以
所以
所以
所以选A
【点睛】本题考查了空间直角坐标系的简单应用，利用坐标求得线段长度，属于基础题．
6. 在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是 （ ）
A. 60° B. 75° C. 90° D. 105°
【答案】C
【解析】
【分析】选出向量的基底，将，用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．
【详解】设，，，，
则，，
，
∴，∴与所成的角的大小是，
故选C．
【点睛】求两条异面直线所成的角，常利用向量作为工具，将异面直线赋予向量意义，利用向量的数量积求出两个向量所成的角，再根据异面直线所成角的范围，求出异面直线所成的角
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