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1.1.2空间向量的数量积运算
学习目标：
1．了解空间向量夹角的概念及表示方法．
2．掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律．（重点）
3．可以用数量积证明垂直，求解角度和长度．（重点、难点）
方法要点：
1．求空间向量数量积的步骤
（1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
（3）代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
2．用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
（1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
（2）用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．
3．求向量的夹角和模
（1）求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉．
（2）求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)．
典型例题：
题组一数量积的计算
例1
1. 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0．
【解析】
【分析】结合空间向量的线性运算以及空间向量的数量积的定义与运算律计算即可求出结果.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
变式：
2. 已知四面体OABC的所有棱长均为1.求：
(1)·；
(2) (＋)·(＋)；
(3)|＋＋|.
【答案】(1);(2) 1;(3).
【解析】
【分析】
由于四面体OABC为正四面体，所以，将作为空间向量的一组基底
（1）直接利用向量数量积的定义求解即可；
（2）将所有的向量用基底表示，然后利用向量数量积的运算律求解
（3）|＋＋|＝化简求解即可
【详解】(1)·＝||·||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2) (＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
(3)|＋＋|
＝
＝＝.
【点睛】此题考查的是空间向量的数量积运算，解题的关键是准确选取空间向量的一组基底，属于基础题.
题组二用数量积证明垂直问题
例2
3. 如图所示，已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且，．求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】设，可得出，计算得出，再结合，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.
【详解】不妨设，则，
由空间向量数量积的定义可得，
因为且，所以，，
所以，，，
又因为，，因此，平面.
变式：
4. 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为_______．(填“平行”或“垂直”)
【答案】垂直
【解析】
【分析】利用空间向量证得，即可得到AD与BC垂直．
【详解】
∴AD与BC垂直．
故答案为：垂直.
题组三用数量积求角度
例3
5. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：取的中点，因为正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，易证，因为是的中点，所以,又，所以，所以所以异面直线所成的角的大小是.
考点：本小题主要考查异面直线所成的角的求解，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.
点评：求异面直线所成的角关键是先做出两条异面直线所成的角.
变式：
6. 已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．
【答案】
【解析】
【分析】设，结合已知条件求出与的数量积以及模长，进而结合空间向量夹角的计算公式以及异面直线成角的范围即可求出结果.
【详解】设，则，
，
所以，
因为异面直线成角的范围是，所以异面直线OE与BF所成角的余弦值大于等于0，
故异面直线OE与BF所成角的余弦值为．
题组四用数量积求长度
例4
7. 如图，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】结合空间向量的数量积的定义与运算律求出，即可求出结果.
【详解】因为PA⊥平面ABCD，且平面ABCD，平面ABCD，所以，
所以，因为＝＋＋，
所以||2＝＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°＝61－12＝49．因此PC＝7，
故答案为：7.
变式：
8. 平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
【答案】
【解析】
【分析】选择基底表.
【详解】
∴
=
=1+22+32+2·cos·cos·cos=14+2×1×2cos 90°+2×1×3cos 60°+2×2×3cos 60°=23,
∴AC1
故答案为：
【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题.
【当堂训练】
9. 已知空间向量满足，，则的值为________．
【答案】－13
【解析】
【分析】结合空间向量的数量积的定义以及运算律即可求出结果.
【详解】因为，所以，则
因此
故答案为：
10. 已知 ，则λ＝________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，从而可求出的值.
【详解】由，得，即，
即 ，
所以，
即4λ＋6＝0，∴λ＝．
故答案为：.
11. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于( )
A. 5 B. 6 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形先表示出=，再计算，即可解决问题．
【详解】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=
所以有=，于是有=
=
=25
所以，答案选A
【点睛】求空间向量的模有两种方法：一是平方法，即利用，其实质转化为数量积求解；二是从标法，即利用公式．
12. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角.
【答案】90°．
【解析】
【分析】以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系D－xyz，设正方体的棱长为2，写出和的坐标，可得异面直线A1M与DN所成的角．
【详解】以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系D－xyz．
设正方体的棱长为2，则＝(2，－1，2)，＝ (0，2，1)，·＝0，故异面直线A1M与ND所成角为90°．
13. 在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．
【答案】
【解析】
【分析】由，利用数量积的定义可得的值，进而由向量夹角的余弦公式代入计算可得答案．
【详解】，
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴
故答案为：
14. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为.
（1）设侧棱长为1，试用向量法证明：；
（2）设与的夹角为，求侧棱的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】（1）由图可得，只需证明0即可；
（2）由（1）知，利用向量与夹角的关系即可求出.
【详解】（1）证明：，
因为平面，所以，，
又因为为正三角形，
所以，
所以
，
所以，∴；
（2）由（1）知.
又，
所以，
所以，即侧棱的长为2.
【点睛】本题考查利用向量法解决立体几何问题，属于中档题.
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1.1.2 空间向量的数量积运算
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到，，进而求出，根据，即可判断B的大小；利用上述方法求得，，即可判断C和D的大小，进而可以判断出三角形的形状.
【详解】，，
为锐角，
同理：，，D和C都为锐角，
∴为锐角三角形.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了平面向量的加减运算法则与向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
2. 如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由已知条件，利用向量的运算法则，可得，接下来分析与的数量积；利用向量数量积公式，求得两向量的数量积，通过数量积即可判断两向量的关系，从而得到与的关系，问题即可解答.
【详解】证明：设，，，则.
∵，
∴，
∴，即.
【点睛】本题考查空间直线垂直关系的证明，运用两向量数量积来判断与的关系，考查运算求解能力，属于中等题型.
3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则=_____.
【答案】
【解析】
【分析】由图可知，所以再用向量数量积公式可求值．
【详解】
故答案为：
【点睛】向量数量积公式为，所以只需知道作数量积运算的两向量的模及两向量夹角，即可求值．
4. 在正方体中，有下列命题：
①；②；③与的夹角为．
其中正确的命题有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可
【详解】解：对于①，
所以①正确；
对于②，，
所以②正确；
对于③，因为∥,分别为面的对角线，
所以,所以与的夹角为，所以③错误
故选：B
【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题
5. 在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为的中点．
（1）求EF，所成角的余弦值；
（2）求FH的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设于是可得，，根据，，最后结合空间向量的夹角公式和数量积运算即可求得；
（2）根据，再由空间向量模的运算和数量积的运算即可得到答案.
【详解】如图，
设则，.
因为，
，
所以，
，则，
，则，
所以，所以所成角的余弦值为.
（2）因为，
所以，即FH的长为.
能力提升
6. 已知在平行六面体中，过顶点的三条棱所在直线两两夹角均为，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线的长为
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由根据已知条件能求出结果
【详解】∵
==1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°=6．
∴=．
故选D．
【点睛】这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
7. 已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再计算出,所以2×1×cos<>=1,即得a与b所成的角.
【详解】直线a,b的方向向量分别为,因为,所以,即2×1×cos<>=1,所以cos <>=,即<>=60°.
故答案为C
【点睛】(1)本题主要考查异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解法本题的关键是由得2×1×cos<>=1.
8. 若向量垂直于向量和，向量，，且，则
A. B.
C. 不平行于，也不垂直于 D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断．
【详解】解：向量垂直于向量和，则，，
又向量，
所以，
所以．
故选：．
9. 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则 的形状是
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：：∵，
∴，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形
考点：向量运算
挑战创新
10. 在等边三角形ABC中，点P在线段AB上，满足，若，则实数λ的值是
___________．
【答案】
【解析】
【详解】设三角形ABC的边长为a,
则
11. 如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．
【答案】.
【解析】
【分析】过点作，D1为垂足，连接BD1，由线面角定义可知，则，进一步可得.由图可得，再利用模长的定义求值即可.
【详解】由，可知，
过点作，D1为垂足，连接BD1，
则∠DBD1为BD与α所成的角，
即∠DBD1＝30°，
所以∠BDD1＝60°，
因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
所以，所以.
又，
所以
，
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
所以 ，
故
，
所以，即的长为.
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1.1.2 空间向量的数量积
【知识要点】
知识点一 空间向量夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a|| b |cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
知识点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【公式概念应用】
1. 若非零向量，为共线且同向的向量，则（ ）
【答案】正确
【解析】
【分析】结合空间向量的数量积的定义即可判断.
【详解】，由于非零向量，为共线且同向的向量，所以，故，因此，
故答案为：正确.
2. 对于向量，，，有（ ）
【答案】错误
【解析】
【分析】结合平面向量的数量积以及共线向量即可判断.
【详解】结合平面向量的数量积，设，所以等价于，但方向不确定，所以该命题不一定成立，故错误，
故答案为：错误.
3. 对任意向量，，满足（ ）
【答案】正确
【解析】
【分析】根据空间向量的数量积的定义以及空间向量的夹角范围即可判断.
【详解】根据空间向量的数量积的定义可知，因为，所以，所以，因此该命题正确.
故答案为：正确.
4. 对于非零向量，由，可得（ ）
【答案】错误
【解析】
【分析】根据空间向量的数量积即可判断.
【详解】因为，所以，故，故该命题错误；
故答案为：错误.
5. 向量与的夹角等于向量与的夹角（ ）
【答案】错误
【解析】
【分析】根据空间向量夹角的概念即可判断.
【详解】由于向量与的夹角与向量与的夹角互补，故该命题错误；
故答案为：错误.
6. 若，则或（ ）
【答案】错误
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的定义即可判断.
【详解】因为，则或或，故该命题错误.
故答案为：错误.
7. 对于非零向量，由，可得（ ）
【答案】错误
【解析】
【分析】根据空间向量的数量积即可判断.
【详解】因为，所以，故，故该命题错误；
故答案为：错误.
8. 若非零向量，为共线且同向的向量，则（ ）
【答案】正确
【解析】
【分析】结合空间向量的数量积的定义即可判断.
【详解】，由于非零向量，为共线且同向的向量，所以，故，因此，
故答案为：正确.
9. 若，则或（ ）
【答案】错误
【解析】
【分析】根据相等向量和相反向量的概念以及向量的数量积与模长的关系即可判断.
【详解】若，则，但是方向不确定，因此不能判断或，故错误，
故答案为：错误.
10. 若，则λ＝0或（ ）
【答案】正确
【解析】
【分析】根据向量的数乘运算即可判断.
【详解】根据向量的数乘运算可知若，则λ＝0或，因此该命题正确，
故答案为：正确
11. 在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】根据以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案.
【详解】对于A，因为，所以与的夹角为，故A正确；
对于B，因为，所以与的夹角为，故B不正确；
对于C，因为，所以与的夹角为，故C不正确；
对于D，因为，所以与的夹角为，故D不正确.
故选：A
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