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1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示
【知识要点】
知识点一 空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
知识点二 空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①
把＝a代入①式得＝＋t，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
知识点三 空间中平面的向量表示式
1．平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．
2．平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}．
【公式概念应用】
判断
1. 若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．（ ）
【答案】正确
2. 平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．（ ）
【答案】错误
3. 直线的方向向量是唯一的．（ ）
【答案】错误
4. 已知，则平面的一个法向量可以是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），
∴=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），
设平面ABC的一个单位法向量为，
则，∴
易知：符合题意．
故选D．
5. 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．
其中正确的是________．(填序号)
【答案】①②③
【解析】
【分析】
【详解】解析 ＝＝(0，0，1)，故①正确；＝＝(0，1，1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故③正确；向量的坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．
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1.4.1.1空间中点 直线和平面的向量表示
分层演练 综合提升
基础巩固
1. 已知向量和都是直线l的方向向量，则x的值是（ ）
A. -1 B. 1或-1
C. -3 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，则存在唯一的实数使得，列出方程组，即可解出答案.
【详解】解：由题意得，所以存在唯一的实数使得，
即，
所以，解得，
所以.
故选：A.
2. 已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两平面平行，则两平面的法向量也平行可得出结论.
【详解】，所以，平面与平面的法向量平行，
因为，且ABC选项中的向量均与不共线.
故选：D.
3. 在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是（ ）
A. ⊥ B. ⊥
C. ⊥ D. ⊥
【答案】C
【解析】
【分析】因为是平面ABCD的法向量，故PA⊥平面ABCD，再根据线面垂直的性质判定即可
【详解】∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∴PC⊥BD.
故选项B成立，选项A和D显然成立.
故选：C.
4. 在空间直角坐标系中，已知点，，和点，，，其中，，若直线与直线垂直，则x的值为________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标运算可得，化简整理为，，，解之即可．
【详解】解：由题意得，得，
利用，化简后得，
于是或，
因为，，
所以或．
故答案为：或．
5. 已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
【答案】（1）(－2,2，－2)（2）x－y＋z－2＝0.
【解析】
【分析】(1)求出即可作为线BC的一个方向向量；
(2)由题意可知 由此可求满足的关系式．
【详解】(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，
∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．
(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，∵⊥平面α，AM α，
∴⊥, ∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0.
【点睛】本题考查直线的方向向量以及排名的法向量与平面内的正弦的关系，，属中档题．
能力提升
6. 已知线段AB的两端点坐标为，则线段AB与（ ）
A. xOy平行 B. xOz平行
C. yOz平行 D. yOz相交
【答案】C
【解析】
【详解】因为，
所以AB∥平面yOz.
故选：C.
7. 已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（ ）
A. (1，－1,1) B. (1,3，)
C. (1，－3，) D. (－1,3，－)
【答案】B
【解析】
【分析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量是否垂直，即判断是否为0即可.
【详解】对于选项A，，则，故排除A；
对于选项B，，则
对于选项C，，则，故排除C；
对于选项D，，则，故排除D；
故选:B
8. 已知直线l过点且平行于向量，平面α过直线l与点则平面α的法向量不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可知所研究平面的法向量垂直于向量和向量，所以利用向量垂直判定即可.
【详解】由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，
而，
选项A，，满足垂直，故正确；
选项B，，，
满足垂直，故正确；
选项C，，满足垂直，故正确；
选项D，，但，故错误．
故选：D.
9. 若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则_____________．
【答案】2：3：（-4）
【解析】
【详解】试题分析：由得
因为为平面的法向量，则有，即
由向量的数量积的运算法则有解得
所以
故正确答案为
考点：空间向量的法向量．
挑战创新
10. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的说法的序号是__________．
【答案】①②③
【解析】
【详解】 由,
在①中，，所以，所以，所以是正确的；
在②中，，所以，所以，所以是正确的；
在③中，由于，，且，可知是平面的法向量，所以是正确的；
在④中，,
假设存在实数使得，则，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③.
点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.
11. 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，ADBC，∠ABC=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.
【答案】平面SAB的一个法向量是. 平面SDC的一个法向量为
【解析】
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，再根据法向量与平面内的两条相交直线垂直计算即可
【详解】以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则，，，，
则
向量是平面SAB的一个法向量.
设为平面SDC的一个法向量，
则，取，得，
故平面SDC的一个法向量为.
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1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示
学习目标：
理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量.
方法要点：
1.理解直线方向向量的概念
（1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.
（2）直线的方向向量不唯一.
2求平面法向量的方法与步骤
（1）求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；
（2）设平面的法向量为n＝（x，y，z）；
（3）联立方程组并求解；
（4）所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数（常数不能为0）便可得到平面的一个法向量.
典型例题：
题组一、直线的方向向量
例1（1）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线 l 过 A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y－z等于（ ）
A.0 B.1 C. D.3
（2） 在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________.
变式（1）（多选）若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）
A.（2，2，6） B.（1，1，3）
C.（3，1，1） D.（－3，0，1）
（2）从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为（）
A.（18，17，－17） B. （－14，－19，17）
C. D.
题组二、求平面的法向量
例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
变式已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1，0），B（0，2，3），C（1，1，3），试求出平面ABC的一个法向量.
当堂检测：
1. 若在直线l上，则直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．
【详解】由题意可得：直线的一个方向向量，
又∵，
∴是直线的一个方向向量．
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．
2. 已知直线l1的方向向量＝（2，－3，5），直线l2的方向向量＝（－4，x，y），若，则x，y的值分别是（ ）
A. 6和－10 B. －6和10
C. －6和－10 D. 6和10
【答案】A
【解析】
【分析】由，则存在唯一的实数，使得，列出方程组，从而可得答案.
【详解】解：因为，＝（2，－3，5），则存在唯一的实数，使得，
即，
所以，解得
所以x，y的值分别是6和－10.
故选：A.
3. 若＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是( )
A. (0，－3,1) B. (2,0,1)
C. (－2，－3,1) D. (－2,3，－1)
【答案】D
【解析】
【分析】利用两向量共线的条件即可找出平面的法向量．
【详解】∵（﹣2，3，﹣1）=﹣（2，﹣3，1），
∴向量（﹣2，3，﹣1）与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．
故选D．
【点睛】本题主要考查了共线向量与共面向量，正确理解平面的法向量是解题的关键．
4. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由直棱柱的性质可知侧棱与底面垂直，从而可得答案
【详解】因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，
所以平面 ，平面，
所以和可以作为平面ABC法向量，
故选：BC
5. 已知平面α经过点O（0，0，0），且＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________.
【答案】x＋2y－3z＝0
【解析】
【分析】由题意得⊥，则，从而可得出答案.
【详解】解：由题意得⊥，，
则，
所以x，y，z满足的关系式是x＋2y－3z＝0.
故答案为：x＋2y－3z＝0.
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