确定圆的条件课堂实录
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文档简介
确定圆的条件教学设计
单位：鹿泉市高新区中学 作者：谷丽贤
教学内容：北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册第三章第四节“确定圆的条件”。
教材分析：学生通过对这一章前三节内容的学习，已经对圆有了一定的认识，本节问题的引入以前一节习题中确定一个圆形纸片的圆心为铺垫，充分利用了学生已有的经验和现实生活中的素材，通过设计具有挑战性的情境，来激发学生求知、探索的欲望，鼓励学生用多种方法进行探索，水到渠成，再通过练习加以巩固，最后引导学生自制工具，享受成功的喜悦。
学校及学生状况分析：学生全部来自农村，学校部分班级安装了多媒体设备，但教师对多媒体的运用还有待提高。班级中好中差学生都有，但都很乐意动手操作，对问题充满了探求的欲望，有很强的表现欲。九年级的学生已具备了一定的归纳总结和表达的能力。
教学目标：1、创设情境，引导学生积极参与定理的发现过程，培养学生自主探索的能力。
2、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点做圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
3、从探索中进一步体会解决数学问题的策略。
4、引导学生理论联系实际，制造出找圆心的工具，体验发明创造的喜悦。
教学重点：探索“不在同一直线上的三点确定一个圆”定理的发现过程。
教学用具：无刻度直尺、圆规
教学过程：
一、引入新课
教师：前边我们学习了一些与圆有关的知识，大家能告诉我确定一个圆需要什么条件吗？（学生响亮回答：圆心和半径。）如果不知道圆心和半径，只知道圆上某一部分还能确定这个圆吗？（学生有的说能，有的说不一定，有的沉默不语。）想知道答案吗？（学生：想）让我们一起来探索今天的新课“确定圆的条件”（教师板书课题）。
二、探究过程
教师：同学们听过“破镜重圆”这个成语吗？
学生：听过。
教师举起手中残破的圆形镜片（如图）问道：大家能把这个成语变成现实吗？（学生表情丰富：或笑或瞪大眼睛或交头接耳）（教师把镜片的大致图形画到黑板上）我们手中现有的工具是无刻度直尺、圆规、白纸和笔，同学们或通过计算或折纸或画图，能否把它复原？请大家试试看。
学生动手操作，留给学生充分的探索时间。有答案后教师询问：谁愿意把你的方法讲述给大家？
学生A：把破镜片放在白纸上，用笔沿着镜片的边缘把弧线描下来，移动镜片，使镜片的边缘和前边所画的弧有一部分互相重合，再把不重合的部分沿镜片的边缘把弧线描下来，依次描弧就可以把圆补完整。
教师：同学们听明白生A的方法了吗？（学生表示听明白了，提醒学生这样做一定要注意安全。）他的这种方法利用了圆的什么性质？（学生思考后答：圆的中心对称性。教师补充：实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这是圆的旋转不变性。）哪位同学再来和大家交流你的方法呢？
学生B：因为圆内任意一条弦的垂直平分线一定过圆心。在破镜片上任意画两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点即为圆心，半径是圆心到弧上任意一点的长度，有了圆心和半径就可把镜片复原了。
学生C：我和生B的做法相同，但我认为应画两条不平行的弦，否则它们的垂直平分线互相重合就找不到圆心了。
教师：经过生C的补充，大家认为这种做法可以把破镜复原吗？（学生一致认为可以）同学们还有别的方法吗？
学生D：我的方法是受生A和生B的启发得来的。取一张白纸放在镜片下，沿着镜片的边缘把弧线描下来，取出白纸，在所描的弧上依次取A、B、C三点，对折所描的图形，使点A和点C重合，再对折一次使点B和点C重合，得两条折痕，则两条折痕的交点就是圆心，有了圆心半径也随之确定。（边解释边折纸演示）
教师：同学们的方法都很好，相比来说，生D的方法更简单易行。实际上，他和生B生C的方法都巧妙的利用了我们所学的哪个知识点？（学生思考后回答：圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的任意一条直线。）有了同学们的这些方法，看来不知道圆心和半径也是可以确定一个圆的，那么确定圆的条件究竟是什么呢？（大部分学生张口就答：一条弧）
教师：同学们说得非常对，而弧是由点组成的，我们在确定圆的过程中是否用到了弧上所有的点？最少用几个点就可确定一个圆呢？（学生由生D的做法很容易得出需要三个点的结论。）
教师：是不是任意三个点都可确定一个圆？两个点行吗？一个点呢？请同学们通过画图来解决这些问题。
（有了前边的探究过程，学生们没用太多时间就得出了答案。有答案后，教师允许学生互相交流答案。）
教师：谁来说一说你的结论？
学生E：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在一条直线上，就不存在过这三个点的圆。过两个点和一个点都有无数个圆。
教师：大家同意吗？（学生一起回答：同意）现把同学们的结论归纳如下，不完整的地方请大家补充完整。教师展示第一张幻灯片，内容如下：
定理： 的三个点确定一个圆。
过同一直线上的三个点 确定圆，因为不存在到这三个点的距离都相等的点。
过两个点能做 个圆，圆心在两点所确定的线段的垂直平分线上，如图1。
过一点能做 个圆，圆心和半径都不确定，如图2。
图1 图2
实际上，我们可以把过已知点作圆的问题转化为确定 的问题。
（学生口答，答案略）
三、课堂练习
教师：大家有信心用我们所学的内容做几个练习吗？（学生响亮回答：有）请同学们用尺规作图，分别作出过锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三个顶点的圆，并写出其中一个的作法。
学生完成后，教师要求同桌交换并交流意见，可打开课本，参考书上的作图及作法。然后请同学们根据自己的作图经验完成下列填空题（出示第二张幻灯片）：
1、三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边 的交点，叫做三角形的外心。锐角三角形的外心在三角形的 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在三角形的 。一个三角形有 个外接圆，一个圆有 个内接三角形。（可以询问学生如何理解圆的内接三角形）
2、已知：△ABC中，a=3,b=4,c=5,求△ABC外接圆的半径R。
（以上答案请学生思考后口答）
3、经过不在同一条直线上的四个点是否一定能作一个圆？（请同学们思考后单独回答）
学生F：能，如：过正方形的四个顶点正好作一个圆。
学生G：不一定。如图（到黑板上画图）：
教师：同学们同意谁的答案？（学生一致回答：生G）大家能把生G的意思用语言叙述出来吗？（学生回答确实有困难时教师可点明）要想作经过四个点的圆，可先作经过其中不在同一条直线上的三个点的圆，而第四个点到该圆圆心的距离不一定等于半径。
四、实际应用
教师：我们从生活中发现了数学，大家有兴趣再把我们的发现应用于生活，解决一些我们身边的问题吗？（学生响亮回答：有）
1、有一个圆形的盖子，现要在其中间加一把手，如何加？
（学生只要回答得有道理就应鼓励，答案略。）
2、王大爷要把一个圆形铁片加工成圆环，可他没法确定圆心的位置，我们能不能制造出一种简单的工具，可以很方便的帮王大爷找到圆心。
（学生经过讨论，想出了一种T形工具：直线MC⊥AB于点C，AC=BC。将线段AB两个端点不重合的放在圆上两次，两次MC的交点就是圆心。）
五、课堂小结
教师：这节课同学们通过探索不仅得出了确定圆的条件，了解了三角形的外接圆和三角形的外心两概念，还自制了找圆心的工具，很了不起。（也可选择让学生自己作总结）
六、课后作业
1、认真阅读课本。
2、课本114页至115页：习题1、2、3。
3、教师可根据教学情况适当补充课外其它习题。
教学反思：本节课学生在探究问题的过程中不仅复习了学过的知识，而且培养了学生应用数学的意识。课堂上，学生的思维会因教师的问题而变化，在教学中教师要把握好教学的导向作用，使学生产生浓厚的学习情趣和学习自信心。当学生的答案和教师的设想不一样时，教师要鼓励学生提出不同的见解、思路和方法，发展学生的创新能力和应用能力。
设计点评：本节课本着“以学生发展为本”的原则，采用“探究性学习”的教学模式，通过设置“创设情境---探索交流---应用迁移”的教学环节，激发了学生强烈的探索兴趣和求知欲望，通过学生自己的探索及与同伴的合作交流，发现了确定圆的条件，让学生经历了数学知识的形成和应用过程，使学生的数学学习变成了一个生动活泼主动的过程，真正体现了“数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程”这一原则。
单位：鹿泉市高新区中学 作者：谷丽贤
教学内容：北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册第三章第四节“确定圆的条件”。
教材分析：学生通过对这一章前三节内容的学习，已经对圆有了一定的认识，本节问题的引入以前一节习题中确定一个圆形纸片的圆心为铺垫，充分利用了学生已有的经验和现实生活中的素材，通过设计具有挑战性的情境，来激发学生求知、探索的欲望，鼓励学生用多种方法进行探索，水到渠成，再通过练习加以巩固，最后引导学生自制工具，享受成功的喜悦。
学校及学生状况分析：学生全部来自农村，学校部分班级安装了多媒体设备，但教师对多媒体的运用还有待提高。班级中好中差学生都有，但都很乐意动手操作，对问题充满了探求的欲望，有很强的表现欲。九年级的学生已具备了一定的归纳总结和表达的能力。
教学目标：1、创设情境，引导学生积极参与定理的发现过程，培养学生自主探索的能力。
2、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点做圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
3、从探索中进一步体会解决数学问题的策略。
4、引导学生理论联系实际，制造出找圆心的工具，体验发明创造的喜悦。
教学重点：探索“不在同一直线上的三点确定一个圆”定理的发现过程。
教学用具：无刻度直尺、圆规
教学过程：
一、引入新课
教师：前边我们学习了一些与圆有关的知识，大家能告诉我确定一个圆需要什么条件吗？（学生响亮回答：圆心和半径。）如果不知道圆心和半径，只知道圆上某一部分还能确定这个圆吗？（学生有的说能，有的说不一定，有的沉默不语。）想知道答案吗？（学生：想）让我们一起来探索今天的新课“确定圆的条件”（教师板书课题）。
二、探究过程
教师：同学们听过“破镜重圆”这个成语吗？
学生：听过。
教师举起手中残破的圆形镜片（如图）问道：大家能把这个成语变成现实吗？（学生表情丰富：或笑或瞪大眼睛或交头接耳）（教师把镜片的大致图形画到黑板上）我们手中现有的工具是无刻度直尺、圆规、白纸和笔，同学们或通过计算或折纸或画图，能否把它复原？请大家试试看。
学生动手操作，留给学生充分的探索时间。有答案后教师询问：谁愿意把你的方法讲述给大家？
学生A：把破镜片放在白纸上，用笔沿着镜片的边缘把弧线描下来，移动镜片，使镜片的边缘和前边所画的弧有一部分互相重合，再把不重合的部分沿镜片的边缘把弧线描下来，依次描弧就可以把圆补完整。
教师：同学们听明白生A的方法了吗？（学生表示听明白了，提醒学生这样做一定要注意安全。）他的这种方法利用了圆的什么性质？（学生思考后答：圆的中心对称性。教师补充：实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这是圆的旋转不变性。）哪位同学再来和大家交流你的方法呢？
学生B：因为圆内任意一条弦的垂直平分线一定过圆心。在破镜片上任意画两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点即为圆心，半径是圆心到弧上任意一点的长度，有了圆心和半径就可把镜片复原了。
学生C：我和生B的做法相同，但我认为应画两条不平行的弦，否则它们的垂直平分线互相重合就找不到圆心了。
教师：经过生C的补充，大家认为这种做法可以把破镜复原吗？（学生一致认为可以）同学们还有别的方法吗？
学生D：我的方法是受生A和生B的启发得来的。取一张白纸放在镜片下，沿着镜片的边缘把弧线描下来，取出白纸，在所描的弧上依次取A、B、C三点，对折所描的图形，使点A和点C重合，再对折一次使点B和点C重合，得两条折痕，则两条折痕的交点就是圆心，有了圆心半径也随之确定。（边解释边折纸演示）
教师：同学们的方法都很好，相比来说，生D的方法更简单易行。实际上，他和生B生C的方法都巧妙的利用了我们所学的哪个知识点？（学生思考后回答：圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的任意一条直线。）有了同学们的这些方法，看来不知道圆心和半径也是可以确定一个圆的，那么确定圆的条件究竟是什么呢？（大部分学生张口就答：一条弧）
教师：同学们说得非常对，而弧是由点组成的，我们在确定圆的过程中是否用到了弧上所有的点？最少用几个点就可确定一个圆呢？（学生由生D的做法很容易得出需要三个点的结论。）
教师：是不是任意三个点都可确定一个圆？两个点行吗？一个点呢？请同学们通过画图来解决这些问题。
（有了前边的探究过程，学生们没用太多时间就得出了答案。有答案后，教师允许学生互相交流答案。）
教师：谁来说一说你的结论？
学生E：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在一条直线上，就不存在过这三个点的圆。过两个点和一个点都有无数个圆。
教师：大家同意吗？（学生一起回答：同意）现把同学们的结论归纳如下，不完整的地方请大家补充完整。教师展示第一张幻灯片，内容如下：
定理： 的三个点确定一个圆。
过同一直线上的三个点 确定圆，因为不存在到这三个点的距离都相等的点。
过两个点能做 个圆，圆心在两点所确定的线段的垂直平分线上，如图1。
过一点能做 个圆，圆心和半径都不确定，如图2。
图1 图2
实际上，我们可以把过已知点作圆的问题转化为确定 的问题。
（学生口答，答案略）
三、课堂练习
教师：大家有信心用我们所学的内容做几个练习吗？（学生响亮回答：有）请同学们用尺规作图，分别作出过锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三个顶点的圆，并写出其中一个的作法。
学生完成后，教师要求同桌交换并交流意见，可打开课本，参考书上的作图及作法。然后请同学们根据自己的作图经验完成下列填空题（出示第二张幻灯片）：
1、三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边 的交点，叫做三角形的外心。锐角三角形的外心在三角形的 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在三角形的 。一个三角形有 个外接圆，一个圆有 个内接三角形。（可以询问学生如何理解圆的内接三角形）
2、已知：△ABC中，a=3,b=4,c=5,求△ABC外接圆的半径R。
（以上答案请学生思考后口答）
3、经过不在同一条直线上的四个点是否一定能作一个圆？（请同学们思考后单独回答）
学生F：能，如：过正方形的四个顶点正好作一个圆。
学生G：不一定。如图（到黑板上画图）：
教师：同学们同意谁的答案？（学生一致回答：生G）大家能把生G的意思用语言叙述出来吗？（学生回答确实有困难时教师可点明）要想作经过四个点的圆，可先作经过其中不在同一条直线上的三个点的圆，而第四个点到该圆圆心的距离不一定等于半径。
四、实际应用
教师：我们从生活中发现了数学，大家有兴趣再把我们的发现应用于生活，解决一些我们身边的问题吗？（学生响亮回答：有）
1、有一个圆形的盖子，现要在其中间加一把手，如何加？
（学生只要回答得有道理就应鼓励，答案略。）
2、王大爷要把一个圆形铁片加工成圆环，可他没法确定圆心的位置，我们能不能制造出一种简单的工具，可以很方便的帮王大爷找到圆心。
（学生经过讨论，想出了一种T形工具：直线MC⊥AB于点C，AC=BC。将线段AB两个端点不重合的放在圆上两次，两次MC的交点就是圆心。）
五、课堂小结
教师：这节课同学们通过探索不仅得出了确定圆的条件，了解了三角形的外接圆和三角形的外心两概念，还自制了找圆心的工具，很了不起。（也可选择让学生自己作总结）
六、课后作业
1、认真阅读课本。
2、课本114页至115页：习题1、2、3。
3、教师可根据教学情况适当补充课外其它习题。
教学反思：本节课学生在探究问题的过程中不仅复习了学过的知识，而且培养了学生应用数学的意识。课堂上，学生的思维会因教师的问题而变化，在教学中教师要把握好教学的导向作用，使学生产生浓厚的学习情趣和学习自信心。当学生的答案和教师的设想不一样时，教师要鼓励学生提出不同的见解、思路和方法，发展学生的创新能力和应用能力。
设计点评：本节课本着“以学生发展为本”的原则，采用“探究性学习”的教学模式，通过设置“创设情境---探索交流---应用迁移”的教学环节，激发了学生强烈的探索兴趣和求知欲望，通过学生自己的探索及与同伴的合作交流，发现了确定圆的条件，让学生经历了数学知识的形成和应用过程，使学生的数学学习变成了一个生动活泼主动的过程，真正体现了“数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程”这一原则。