三角形的中位线教学设计

三角形的中位线教学设计
单位：鹿泉市高新区中学 作者：谷丽贤
教学内容：北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册第三章第一节“平行四边形”的第三课时——三角形的中位线。
教学目标：1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推力论证的能力。
2、掌握三角形中位线的定义及性质，并会证明三角形中位线定理。
3、会利用三角形中位线定理，解决一些实际问题，提高数学应用能力。
4、体会证明过程中所运用的转化的数学思想方法。
教学重点：熟悉并掌握三角形中位线定理，会应用此定理解决问题。
教学难点：三角形中位线定理的证明。
教学用具：学生每人准备一把小剪刀。
教学过程：
一、引入新课
教师：今天早晨我遇见了王老汉，他请我帮忙解决一个很棘手的问题，同学们有兴趣试试吗？（学生或跃跃欲试或犹豫不决，教师展示图片）如图：
王老汉有一块三角形的土地，他想把它均等的分给四个儿子，并且使每个儿子所分得的土地形状相同。你能帮他想想办法吗？
二、探究过程
教师：请同学们利用手中的剪刀，剪个三角形，或折一折，或画一画，或剪一剪试试看。
学生动手操作，教师提醒要注意安全。
学生有答案后，教师询问：谁愿意把你的办法讲述给大家，并进行验证？
学生A：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形的思路。我的办法是：（到黑板上画图解释）如图，其中D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，连接AE、DE、EF，把△ABC分成四个小三角形，折叠后它们能互相重合。（向同学们展示折叠过程）
学生B：生A的方法只适合特殊的直角三角形，对锐角三角形就不成立了。
教师：生B的意见对吗？请大家验证一下。（经过验证，学生们发现，生A的方法对于一般的三角形确实不成立。）
教师：大家做得很好。重审一次题，我们不难发现，王老汉的意思不仅要使所分得的土地大小相等，而且还要形状相同，实际上就是要求所分得的图形全等。哪位同学再来说一说你的方法？
学生C：和生A的方法类似，但我是连接DE、EF、DF，然后沿线剪开，所得的四个三角形能够互相重合。
教师：生C的方法行吗？请同学们试试看。（经过验证，学生们一致同意生C的做法。）
教师：事实上，生C连接的这三条线段就是这个三角形的三条中位线。引入课题：三角形的中位线。
[板书]连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形有 条中位线。
学生回答三条。
教师：回想我们刚才的试验过程，大家能猜出三角形的中位线与第三边有怎样的关系吗？能证明你的猜想吗？
学生画图思考。给学生充分的思考时间后，教师询问：哪位同学愿意上（讲台）来说一说你的猜想和证明思路？
学生D：（先在黑板上画图）我的答案是：如图，如果D、E分别是AB、AC的中点，则DE=BC，DE∥BC。
理由是：过E作EF∥AB交BC于F点，∴∠CEF=∠A，∠CFE=∠B ∴△CEF∽△CAB ∴=== 又∵AD=BD=AB ∴BD=EF ∴四边形BFED是平行四边形 ∴DE∥BC，DE=BF 又∵BF=FC=BC ∴DE=BC。
学生E：生D的证明方法还能再简化，不用作辅助线。已知：DE是△ABC的中位线，求证：DE=BC，DE∥BC。理由是：∵==，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴==，∠ADE=∠B ∴DE=BC，DE∥BC。
教师：两位同学说的非常好，可以看得出数学基础很扎实，利用三角形相似很简练的得出了三角形的中位线和第三边的关系。
[板书]定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
教师：还有没有其它的证明方法呢？（学生沉默，教师及时启发）生D的证明方法相当于截取较长线段的一半。事实上，要证明一条线段等于另一条线段的一半，还可将较短的线段延长一倍。请同学们利用这一思路试试看。
学生经过思考，领会教师所提示的辅助线做法，即：延长DE至F，使EF=DE，连接CF。并能由AE=CE,∠AED=∠CEF,推导出△ADE≌△CFE。此后的证明过程，如果学生仍感到困难，教师可再适当提示：你能推测四边形BCFD的形状吗？理由是什么？
学生书写完毕后，同桌交换，互相评析，可参考教科书中的证明过程。
教师点评:教科书中的证明过程，向我们展示了一种常用的辅助线作法，即要证明一条线段等于另一条线段的一半时，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半（简称截长补短法）。
教师：利用这一定理，请同学们试着证明生C所分割的四个小三角形全等。
学生思考后，请一学生到黑板上板书，其他同学在练习本上书写，完毕后，请学生点评黑板上的过程，教师可适当进行指导。然后前后桌交换，互相评析。
教师：经过证明，三角形的三条中位线把三角形分割成四个全等的小三角形。王老汉的问题，我们不仅利用实验解决了它，而且还通过探索得到了理论根据。可见，数学来源于生活，又指导生活。同学们有信心再做一道与生活相关的练习吗？
学生响亮回答有。
教师：如左图，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了池塘边缘A、B两点间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并测出MN的长，由此他就知道了A，B两点间的距离。你能说出其中的道理吗？
如右图，如果工人师傅要在山脚的A、B两点间挖一条笔直的通道，想预先估测一下这条通道的长度，你能利用三角形中位线定理为他设计一个方案吗？
学生口答：因为MN是△ABC的中位线，AB=2MN。方案设计只要合理就应鼓励。
三、课堂小结
这节课我们一起经历了探索、猜测、验证等过程，学习并掌握了三角形中位线的定义、定理及其证明方法，进一步发展了推力论证的能力。
四、课堂小测
1、如图，任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。
2、已知三角形的各边长分别为8cm，10cm和12cm，求以各边中点为顶点的三角形的周长。
五、布置作业：
1、认真阅读课本。
2、课本85页习题1、2、3，96页10。
3、教师可根据教学情况适当补充练习。
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