2.1函数概念 课件 (共36张PPT)

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§2　函　数
2.1　函数概念
核心知识目标 核心素养目标
1.理解函数在集合观点下的定义,会求简单函数的定义域和值域,会用集合、区间或不等式表示它们.
2.理解函数符号的意义,并会求某些自变量及函数值. 1.通过学习函数的概念,培养数学抽象素养.
2.借助函数的定义域与值域的求解,培养数学运算素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 事物都是运动变化着的,我们可以感受到它们的变化.
早晨,太阳从东方冉冉升起;
气温随时间在悄悄地改变;
小树随着时间的变化不断长高;
……
在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量也随之发生变化.
(1)怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系
(2)这样的模型具有怎样的特征
函数的概念
知识点1:函数的概念
给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个 ,记作 ,x∈A.其中集合A称为函数的 ,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的 .
唯一确定
函数
y=f(x)
定义域
值域
[思考1-1] (1)有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”,这种看法对吗
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系
提示:(1)这种看法不对.
符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象;f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
(2)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.
[思考1-2] 如果两个函数的定义域和值域都相同,那么这两个函数是同一个函数吗
提示:不是,两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
[例1] (1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象:
其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(1)解析:①中,因为在集合M中当1(2)解:①A中的元素0在B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.
②对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数.
③集合A中的负整数没有平方根,在集合B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.
变式训练1-1:如图,可表示函数y=f(x)的图象的是(　　)
解析:根据函数的定义,对于定义域内的任意的一个自变量x,有唯一的函数值与之对应,故任作一条垂直于x轴的直线,与函数的图象最多有一个交点.故选D.
(2)由f(1)=f(2)=3,f(3)=4,知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下,在集合B中都有唯一的元素与之对应,故所给对应f是定义在集合A上的函数.
(3)A={1,2,3},B={4,5,6},对应法则如图所示.
解:(3)集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素,且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应f不是定义在集合A上的函数.
方法总结
(1)判断对应关系是否为函数的两个条件
①A,B必须是非空实数集;
②A中任意一个元素在B中有且仅有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.
(2)判断函数相等的方法
①先看定义域,若定义域不同,则不相等;
②若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同,若对应关系也相同,则是同一个函数.
探究点二
[问题2-1] 在函数的概念中非空集合A一定是函数的定义域吗 集合A中的元素能有不与集合B中的元素对应的吗
提示:函数概念中的非空集合A一定是函数的定义域.集合A中的所有元素必须都要与集合B中的元素对应,即集合A中不能有剩余.
函数的定义域
[问题2-2] 已知函数的解析式,求其定义域时,能否对其先化简再求定义域
解:(1)①4-x≥0,
即x≤4,故函数的定义域为{x|x≤4}.
②分母|x|-x≠0,即|x|≠x,
所以x<0.
故函数的定义域为{x|x<0}.
(2)将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域.
方法总结
求函数的定义域
(1)要明确使各函数解析式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:分式的分母不为0;偶次根式的被开方数非负;y=x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
(4)实际问题中的定义域,不但受解析式限制,还受实际问题约束.
拓展探索素养培优
求函数值或值域
试题情境:课程学习情境.
必备知识:函数的概念,值域的求法.
关键能力:运算求解能力.
学科素养:数学抽象,数学运算.
解:(1)将x=1,2,3,4,5分别代入y=2x+1,计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.
(4)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.
因为-5≤x≤-2,所以-4≤x+1≤-1.
所以1≤(x+1)2≤16.
所以-12≤4-(x+1)2≤3.
所以所求函数的值域为[-12,3].
(3)y=x2-2x-3(x∈[-1,2]).
解:(3)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,2],
结合其图象可得值域为[-4,0].
方法总结
求函数值域的方法主要有以下几种:
(1)观察法:对于函数解析式结构较简单的函数可以通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的函数的值域求出原函数的值域.
(3)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方后结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间二次函数最值的求法.
(4)数形结合法:有些函数的图象比较容易画出,可以通过函数的图象得出函数的值域.
备用例题
解析:①的对应法则不同,故不是同一个函数.
④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应法则也相同,故是同一个函数.
综上可知是同一个函数的是③④.
故选C.
(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
解:(2)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①),可得函数的值域为[2,6).
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