2.2函数的表示法 课件（共40张PPT）

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2.2　函数的表示法
核心知识目标 核心素养目标
1.了解函数的一些基本表示法,会根据不同的实际情境选择合适的方法表示函数.
2.了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.通过图象法表示函数的学习,培养直观想象素养.
2.通过求函数解析式,培养数学运算素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] (1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km,设计速度目标值为380 km/h,若京沪高速铁路时速按300 km/h计算,火车行驶x小时后,路程为y km,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫作该函数的解析式.
(2)如图是我国人口1950～1990年出生率变化曲线:
函数的表示方法
(3)下面是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表.
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
根据初中所学知识,请判断问题(1),(2),(3)分别是用什么法表示函数的
提示:解析法、图象法和列表法.
知识点1:函数的表示方法
函数的表示方法通常有三种,它们是 、 和 .
(1)用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法.
(2)用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法.
(3)一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出
来,这种方法称为解析法.
[思考] 函数的三种表示方法各有什么优缺点
提示:函数的三种表示法的优缺点
列表法
图象法
解析法
优点 缺点
解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观,而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少个值的对应关系
图象法 能形象、直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大
[例1] 某商场经营一批进价是30元/台的商品,在市场试销中发现,此商品销售单价x(元)与日销售量y(台)之间有如下关系:
x 35 40 45 50 …
y 57 42 27 12 …
在所给的平面直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点,并确定你认为比较适合x与y的一个一次函数解析式y=f(x).
解:作出点(35,57),(40,42),(45,27),(50,12),并用直线将其连接起来,如图,则可知其为一次函数,
变式训练1-1:已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域、值域分别是(　　)
(A)(-3,3),(-2,2)
(B)[-3,3],[-2,2]
(C)[-2,2],[-3,3]
(D)(-2,2),(-3,3)
解析:由题图易知x∈[-3,3],y∈[-2,2].故选B.
解:(1)该函数关系用列表法表示为
变式训练1-2:某问答游戏的规则是:共5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
(2)该函数关系用图象法表示,如图所示.
(3)该函数关系用解析法表示为y=50-10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).
方法总结
理解函数的表示法三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论用哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
探究点二
分段函数
提示:(1)函数M(x)只有1个解析式.
(2)当x≤-1,-10时,函数M(x)的表达式不相同.
知识点2:分段函数
有些函数在其定义域中,对于自变量x的取值范围不同,对应关系也不同,这样的函数通常称为分段函数.
解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不符合题意,舍去.
当-2所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.
因为1∈(-2,2),-3 (-2,2),所以a=1符合题意.
当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意.
综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.
解:(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1,
即2m-1>3m-5,
解得m<4,
又m≥2,
所以实数m的取值范围为[2,4).
解:(1)因为-3<1,
所以f(-3)=-2×(-3)+1=7.
因为7>1,所以f(f(-3))=f(7)=72-2×7=35.
因为3>1,所以f(3)=32-2×3=3,
所以f(f(3))=f(3)=3.
所以f(f(-3))>f(f(3)).
(2)画出函数的图象;
解:(2)函数图象如图实线部分所示.
(3)若f(x)=1,求x的值.
方法总结
分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.
(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
探究点三
求函数的解析式
[问题3] 已知f(x-1)=x2,那么函数f(x)的解析式是f(x)=x2吗 为什么
提示:函数f(x)的解析式不是f(x)=x2.这是因为f(x-1)运算法则施加的对象是x-1,而f(x-1)=x2中等号后面是对自变量x表达的运算,不是x-1,等号前后表达不统一.
答案:(1)x2-4x+3(x≥1)
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=　　　　;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=　　　　.
变式训练3-1:把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=1,
f(x+1)-f(x)=2x”,求函数f(x)的解析式.
方法总结
求函数解析式的四种常用方法
(1)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
(2)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.
(3)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.
(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
提醒:应用换元法求函数解析式时,务必保证函数在换元前后的等价性.
拓展探索素养培优
函数的图象及应用
试题情境:课程学习情境.
必备知识:函数图象的画法:描点作图.
关键能力:直观想象能力,运算求解能力.
学科素养:直观想象,数学运算.
解:(1)列表
x 0 1 -2 3
y 0 -1 2 -3
函数图象只是四个点(0,0),(1,-1),(-2,2),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.
(2)画出f(x)的图象;
(3)若f(a)=2,求实数a的值.
解:(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)因为f(a)=2,由函数图象可知a∈(-2,0),所以1-a=2,即a=-1.
方法总结
(1)描点法作函数图象的基本步骤是:
(2)作函数图象时应注意:
①在定义域内作图;
②图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
③要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心点.
备用例题
解析:由函数解析式得f(x)大致图象如图所示.
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