3.2函数的最大(小)值 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
3.2　函数的最大(小)值
核心知识目标 核心素养目标
1.理解函数最大值、最小值的概念及其几何意义.
2.会求函数的最大值、最小值. 1.借助函数最值的求法,培养直观想象和数学运算素养.
2.利用函数的最值解决实际问题,培养数学建模素养.
知识探究·素养培育
探究点一
[问题1] 如图是某天气温随时间变化的曲线.
函数的最大值、最小值
(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少
(2)设该天某时刻的气温为f(x),则f(x)在哪个范围内变化
(3)从函数图象上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得
提示:(1)该天的最高气温为25 ℃,最低气温为-5 ℃.
(2)该天某时刻的气温变化范围是[-5 ℃,25 ℃].
(3)气温的最大值在t=17时取得,气温的最小值在t=6时取得.
知识点:函数的最大值、最小值
(1)若存在实数M,对所有的x∈D,都有f(x)≤M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M,则称M为函数y=f(x)的 值.
(2)若存在实数m,对所有的x∈D,都有f(x)≥m,且存在x0∈D,使得f(x0)=m,则称m为函数y=f(x)的 值.
最大
最小
[思考] 若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗
提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.
[例1] 作出函数y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否存在最大值和最小值.
变式训练1-1:若函数f(x)在(a,2]上既有最小值又有最大值,则a的取值范围是　　　　.
解:作出函数f(x)的图象(如图).
由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,
故f(x)的最大值为1,最小值为0.
探究点二
利用单调性求函数的最值
[问题2] (1)如果非常函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么函数f(x)在区间[a,b]上一定有最大、最小值吗
(2)如果非常函数f(x)是开区间(a,b)上的连续函数,那么函数f(x)在区间[a,b]上一定有最大、最小值吗
(3)如果函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续且单调函数,那么函数f(x)在区间[a,b]上的最大、最小值在哪里取得
提示:(1)函数f(x)在区间[a,b]上一定有最大、最小值.
(2)不一定.可能既有最大值又有最小值,也可能既没有最大值也没有最小值.
(3)如果函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续且单调函数,那么函数f(x)在区间[a,b]上的最大、最小值在区间端点处取得.
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
方法总结
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a);
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b);
(3)若函数y=f(x)有多个单调区间,则先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中确定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的;
(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
拓展探索素养培优
函数最值的应用——恒成立问题
[素养演练1] 本例(2)若改为a-f(x)≥0对x∈[2,3]恒成立,求a的取值范围.
[素养演练2] 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
[素养演练3] 已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
方法总结
(1)不等式恒成立问题中,若a≥f(x)恒成立,则a大于等于f(x)的最大值;若a≤f(x)恒成立,则a小于等于f(x)的最小值.
(2)若函数的定义域为I,且存在x∈I,使a≥f(x)成立,则a大于等于f(x)的最小值;若a≤f(x)成立,则a小于等于f(x)的最大值.
备用例题
[例3] 已知函数f(x)=mx2-4x-2(m∈R).
(1)若f(x)在区间[1,2]上是减函数,求m的取值范围;
(2)若方程f(x)=0在区间[-2,-1]上有解,求m的取值范围;
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